こんにちは。
$n$次元空間内回転の代数を調べました。下記の乗法的ノルムの代数（ノルム多元体）を使う回転表現は、行列表現に比べると積計算が楽ですね。また三角関数を避ける使い方をすると計算効率が有利ですね。
| $n$次元空間内回転 SO($n$) | 自由度 | 等価な代数 | ケーリー＝ディクソンの構成法 |
|---|---|---|---|
| SO(2) | 1 | ノルム1の複素数 $z$ | 複素数は実数２つの組と等価 |
| SO(3) | 3 | ノルム1の四元数 $q$ | 四元数は複素数２つの組と等価 |
| SO(4) | 6 | ノルム1の四元数２つの組 $(q_1, q_2)$ | 八元数は四元数２つの組と等価1 |
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八元数同士の積は、四元数２つの組の表示を使えば、$\ (a,b)\ (c,d)=(ac-d^\ast b,\ da+bc^\ast)$ ↩