連続関数は可測関数である。このことを証明する前に、位相空間のお話として連続関数を定義する。

位相空間論　連続な関数

定義　連続写像
X、Yを位相空間とする(位相空間？前説で少し説明を書いた)。それぞれの位相を$\mathcal{O}$,$\mathcal{T}$とする.
$f:X\rightarrow Y$が連続であるとは、任意のYの開集合$O$に対して逆像$f^{-1}(O)$がXの開集合になっている時をいう。
とくに、$f:X\rightarrow \mathbb{R}$がXから$\mathbb{R}$への連続写像を連続関数と呼んでいる。

注:これが連続の定義であるというのはすごく抽象的？に感じるかもしれないが、ちゃんとした整合性のある定義である。詳しくは、解析学か位相空間論の教科書を参照して

例　$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=x$は連続関数である。

ボレル可測関数

Xを位相空間とする。Xにボレル代数$\mathcal{B}$を定義して((ボレル代数？)、可測空間
X上の関数fがBorel可測関数であるとは、fが$\mathcal{B}$について可測関数のときをいう。

命題6.1 連続関数はBorel関数である
位相空間X上の連続関数fはBorel可測関数である。

証明
可測関数の定義より任意の実数$a$に対して、$f^{-1}((a,\infty))$がボレル集合なら良い。$(a,\infty)$は開集合なので連続の定義から$f^{-1}((a,\infty))$はXの開集合であり、開集合は定義からボレル集合であるので証明される。
証明おわり