画像のボケ除去

スパースモデリング第10章の画像のボケ除去：実践例を実装した。GitHub上のJupyter notebookへのリンク

結果

画像をぼかして雑音を加えた。反復縮小法でボケ補正した。

画像サイズ：$256 \times 256$
ボケカーネル：$\frac{1}{i^{2}+j^{2}+1} (-7\leq i,j \leq 7)$）
雑音レベル：$\sigma^{2}=2$

SSFはアルゴリズム名。SSF-LSは直線探索を追加、SSF-SESOP-5は逐次部分空間最適化（5個前までの勾配を用いる）を追加したもの。数字はピーク信号対雑音比（PSNR; peak signal to noise ratio）[db]。

アルゴリズム

分割可能代理汎関数（SSF; separable surrogate functional）

$$ \mathbf{x_{\rm{k+1}}} = S_{\rho, \lambda / c} (\mathbf{x_\rm{k}} + \frac{1}{c}\mathbf{A^{\rm{T}}}\mathbf{H^{\rm{T}}}(\mathbf{\tilde{y}}-\mathbf{H}\mathbf{A}\mathbf{x_{\rm{k}}})$$

$\mathbf{H}$はボケカーネル。$\mathbf{A^{T}}$はレベル2（非縮小）ウェーブレット変換。$\mathbf{\tilde{y}}$はボケ画像。$\mathbf{x}$はウェーブレット係数。$S_{\rho, \lambda / c}$は縮小の演算子。$c$は規格化定数（$c=1$）。

レベル2（非縮小）ウェーブレット変換の例

縮小

L1ノルムをなめらかにした$\rho(x)=|x|+s\log(1+|x|/s)$で$x$の大きさを測ると（s=0.01とする）、$S_{\rho, \lambda / c}$は解析的に求まる。ラグランジュ乗数$\lambda=0.075$とした。
$$ x_{opt}=\frac{(x_{0} - s - \lambda )+\sqrt{(s+\lambda-x_{0})^{2}+4 s x_{0}}}{2} $$

参考

Michael Elad 著、玉木 徹 訳、スパースモデリング、共立出版、第10章