なんやねん「補数」って
「２の補数を使えばマイナス数を表現でき、それを加算することによって引き算が実現できる」
ということは事実としてご存知だと思います。
しかしどういう原理でそれが可能なのか、不思議な方も多いと思います。
今回はそんな方を対象に、補数での引き算の原理を１０進数を使って解説します。
補数の種類
まず、今後混乱しないためにも、補数には二種類ある事をお伝えしておきます。N進数には「Nの補数」と「N-1の補数」があります。
なので２進数では「２の補数」と「１の補数」、１０進数では「１０の補数」と「９の補数」がある、という事になります。
この記事では「Nの補数」についてだけ説明します。
Nの補数とは
一言で説明すると
「ある数」の桁が１つ増える為に必要な最小の数
という事です。
例えば、１０進数の６で考えます
６は１桁
これを２桁にするためには、４を足して
６＋４＝１０
で２桁となる
もちろん、５を足しても１１という２桁になるが、ここでのポイントは
「桁が１つ増える為に必要な最小の数」という点
なので、１桁である６を２桁にする為の最小の数は４
これの求め方は １０－６＝４ でOK
つまり、６を１桁から２桁にする為の最小の数は４なので、
「６に対する１０の補数」は４となる
という感じです。
この「４」というのが、補数的な表現としての「－６」になります。
補数を使って引き算をしてみる
よく分からないと思うので、実際に１０進数で、補数を用いた引き算をやってみます。
８－６の場合
先ほどやったように、６に対する１０の補数は４
なので、「－６」という数は補数で表現すると「４」になる
「８－６」を計算する場合、「８＋(－６)」と考えられるので、
「(－６)」を「４」に置き換えて
８＋４ を計算する
その答えは「１２」となるが、このうち、１０の位（最上位）は無視
すると「２」だけが残り、これが ８－６ の答え
はい、できました。
ゑ？
いや、なぜ１０を無視できるんだ？それで「２」という答えが得られたのはたまたまじゃね？
のように、何か騙されたような気持ちかもしれません。
解説します。
解説
先ほどの計算を次のように見ていきます
８＋４＝
８＋（１０－６）＝
８＋１０－６＝
１０＋８－６＝ <-- 注目
１０＋２＝１２
お分かり頂けますでしょうか？
「注目」の部分を見れば分かるように、「８－６」が出てきているのです。
これによって「２」が得られ、代わりに「１０」が余分になります。
よって、１０は「無視する」という事です。
機械的な手順としては、Nの補数を加算した後、最上位の「１」を無視すれば引き算の結果が得られるという事です。
凄いでしょ？！
しかし・・・
いや、でも、騙されてはいけません。先ほどの例では、８＋４としましたが、
じゃあこの「４」はどこから出てきましたか？
そうですよね。
結局「１０－６」と、引き算して求めたんです。
「じゃあ最初から素直に８－６やれよ」
って思いますよね？
ところが・・・
先程の１０進数の例では、補数を求める為に結局引き算を使っていました。
だから「最初から引き算やれ」と突っ込まれるのですが、
しかし２進数では・・・本当に、どこにも引き算が必要無いんです！！
２進数における補数の求め方
これはITパスポートとか基本情報レベルなので、良く知られている事実かと思いますが、
２進数の補数の求め方は
- 全ビットを反転させる（１と０を反転させる）
- １を加算する
という、たったこれだけの操作で、「機械的に」求められるのです！
３進数以上ではこうはいきませんよね。
で、これで求められた２の補数を加算し、そして、最上位の「１」を無視します。
すると、それ以降に並んでいる数が「引き算の結果」という事です。
実際に２進数での引き算の様子を見てみましょう。
54 - 13 の場合
54：00110110(8桁)
13：00001101(8桁)
※桁数は何でも良い
54 - 13 は
54 + ( -13 ) なので、
-13 = 13の補数 = 11110010(13の反転) + 1 = 11110011
よって
00110110(54) + 11110011(13の補数) = 100101001(9桁)
100101001 のうち、最上位の「１」は無視 → 1(00101001)
括弧の部分は「41」
よって答えは 41
こういう仕組みです。
でもやっぱり騙されたような感覚になると思うので、
深く納得したい方は、実際に手を動かして計算してみて下さい。
最後に、９００－１２３をやってみます
１２３に対する１０の補数・・・１０００－１２３＝８７７
９００＋８７７＝１７７７
最上位の「１」は無視
答え ７７７（GOGO CHANCE!）
数学って面白いなああああ。