これは何？

テンソルと行列の関係について，いくつかの線形代数の本を読んでいます．この短記事は，『線型代数学周遊』という良書の講義ノートです．なぜ「講義ノート」かというと，著者の松谷先生に twitter DM で質問と回答を繰り返しながら書いたからです！先生ありがとうございました．

具体的には， p.55 「行列のテンソル積表現」の部分のメモです．行列を 「線型写像の表現」 とみたとき，それは 「テンソル積と同一視できるよ」 ということを言っています．

行列のテンソル積表現

$V$, $W$ を体$K$上の線形空間として，

$\mathrm{dim} V = n, \quad \mathrm{dim} W = m$
$V$ の基底 $e_j$ ($j= 1,\ldots,n$)
$W$ の基底 $b_i$ ($i=1,\ldots,m$)

$V$から$W$への線型写像全体を$\mathrm{Hom}_K(V,W)$とします．この時，$V$の双対空間を $V^*$として，

\mathrm{Hom}_K(V,W) = W \otimes V^*

です(1)．これを絵でメモしました．これを行列と関連づけて理解したいのです！

ここで，行列を登場させます．線形変換 $\phi \in \mathrm{Hom}_K(V,W)$は，定義域$V$のそれぞれの基底ベクトル$e_j$が移る先$\phi(e_j)$が，値域$W$基底ベクトル$b_i$の線型結合の各係数としてどのように表現されるか，で表現されるのでした．

[ \phi(e_1), \ldots, \phi(e_n)] = [b_1, \ldots, b_m] \begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots  & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}

ここで， $A = [a_{ij}]$ が $\phi$の表現行列です．

[ \phi(e_1), \ldots, \phi(e_n)] = [b_1, \ldots, b_m] A

すなわち， $\mathrm{Hom}_K(V,W)$ は，$\mathrm{Mat}_k(m,n)$ と同型です．これら2つのことから， $m \times n$ 行列は，テンソル積を使って表現されるのです．このことを例で書き下します．具体例として，$2 \times 3$ 行列 $A$ を扱っています．

$A$の行はそれぞれが，双対空間の元（一次形式）で，元の$V$の元を一次元の体$K$に移します．この具体例でさらに計算を入れて，具体化してみます．

これで，理解したかった，

\mathrm{Hom}_K(V,W) = W \otimes_k V^* \cong　\mathrm{Mat}_k(m,n)

にたどり着きました．ここまで，著者の松谷先生に，twitter DM でご指導いただきました！ありがとうございました．この本を再掲しておきます．

後少し，もやもやしていること

ゴールは，行列を 「線型写像の表現」 とみたとき，それは 「テンソル積と同一視できるよ」 なんですが，

では， $\phi$ の表現行列の式を直接計算してみて，書き下したい
$W \otimes_k V^*$ は， 次元が $mn$ であることが分かった段階で(線形空間なのだから)$m \times n$行列と同型ですよね．という議論は成り立つ？

と思っています．どうなるんですかね？どなたかコメントください．