増減ボタンを押した回数を画面に表示し、データベースに保存するために、Ruby on Railsアプリケーションを作成できます。以下にステップバイステップで説明します。

Railsアプリケーションの作成:

rails new ButtonCounter
cd ButtonCounter

データベースの設定:

データベースには、ボタンが押された回数を格納するためのテーブルを作成する必要があります。例としてSQLiteを使用します。
```
rails generate model ButtonPress count:integer
rake db:migrate
```
モデルの設定:

app/models/button_press.rb ファイルを開き、データベースのテーブルと関連づけます。
```
class ButtonPress < ApplicationRecord
end
```
コントローラの作成:

ボタンの押下回数を増加させるためのコントローラを作成します。
```
rails generate controller ButtonPresses
```
それから、app/controllers/button_presses_controller.rb ファイルを開き、以下のようにアクションを設定します。

class ButtonPressesController < ApplicationController
  def index
    @button_press = ButtonPress.first_or_create # 最初のレコードを作成または取得
  end

  def increment
    @button_press = ButtonPress.first_or_create # 最初のレコードを作成または取得
    @button_press.count = 0 if @button_press.count.nil? # count プロパティが nil の場合は初期化
    @button_press.count += 1
    @button_press.save
    redirect_to button_presses_path
  end

  def decrement
    @button_press = ButtonPress.first_or_create
    @button_press.count = 0 if @button_press.count.nil?
    @button_press.count -= 1 # 数を減らす
    @button_press.count = 0 if @button_press.count < 0 # カウントが負の値にならないようにする
    @button_press.save
    redirect_to button_presses_path
  end

end

ビューの作成:

app/views/button_presses ディレクトリ内にビューを作成します。
- index.html.erb:

   <h1>Button Counter</h1>
   <p>Button pressed: <%= @button_press.count %></p>
   <%= link_to 'プラス', increment_button_presses_path, method: :post %>
　　　　　　<%= link_to 'マイナス', decrement_button_presses_path, method: :post　%>

ルーティングの設定:

config/routes.rb ファイルを開き、以下のようにルーティングを設定します。

Rails.application.routes.draw do
  resources :button_presses, only: [:index] do
     post :increment, on: :collection
     post 'decrement', on: :collection
  end
  root to: 'button_presses#index'
end

サーバーの起動:

アプリケーションを起動します。
```
rails server
```
アプリケーションの動作:

ブラウザで http://localhost:3000 にアクセスし、ボタンを押すとカウントが増加し、その回数が表示されます。

これにより、ボタンを押した回数を画面に表示し、データベースに保存するシンプルなRailsアプリケーションが完成します。