深層学習Day1&Day2【ラビットチャレンジ】

0 はじめに

ラビットチャレンジを受講した際に提出が必要となるレポート記事である。

1 深層学習Day1

ニューラルネットワークは入力層、中間層、出力層の3つからなっており、それぞれに重みをかけたり、バイアスを加えたりする。

1.1 入力層、中間層

入力層には説明変数$x$が入力され、説明変数に対して重み$w$を掛け合わせ、バイアス$b$を追加したものを中間層が受け取る。中間層では受け取った値に対して活性化関数を通すことで信号の強弱を調整し、結果を出力する。

f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{w^T} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{b}

1.2 活性化関数

活性化関数とは、受け取った値を出力信号に変換する関数のことである。活性化関数には非線形関数が用いられる。線形関数を用いる場合、ニューラルネットワークの層を深くする意味がなくなってしまう。（線形のままだと非線形に対応できないため。）
以下に中間層で用いられる代表的な活性化関数を示す。
・シグモイド関数
・ステップ関数
・ReLU関数

1.3 出力層

中間層からの出力を入力として受け取る層のこと。出力層は目的に沿った数値を出力する。出力された予測値と教師データの正解値の差を小さくするように学習を進める。

1.3.1 誤差関数

教師データとの誤差を求める関数のこと。以下によく用いられる誤差関数を示す。
・二乗誤差
・クロスエントロピー誤差

1.3.2 活性化関数

出力層の値を目的に合わせた値に出力するための関数のこと。（分類問題の場合は0-1の範囲で総和が1である必要がある等）
・ソフトマックス関数
・恒等写像
・シグモイド関数

1.4 勾配降下法

深層学習では誤差$E(w)$を最小化するようなパラメータ$w$を見つけることであり、そのための手法を以下に示す

1.4.1 勾配降下法

勾配降下法では以下の式から重み$w$を調整する。

w^{t+1} = w^t - \epsilon \nabla E

問題として、学習率が大きすぎる場合、最小値の辿り着かず発散してしまうという点がある。また学習率が小さすぎる場合、収束するまでに時間がかかってしまう。

1.4.2 確率的勾配降下法

勾配降下法では全サンプルの平均誤差を用いるのに対して、確率的勾配降下法ではランダムに抽出したサンプルの誤差を用いて学習を行う。
利点として、データが几長な場合、計算コストを削減したり、オンライン学習を行うことができる。
オンライン学習とは最初に全てのデータを用意せず、リアルタイムで得られるデータを用いて学習することである。

w^{t+1} = w^t - \epsilon \nabla E_n

1.4.3 ミニバッチ勾配降下法

確率的勾配降下法では、ランダムに抽出したサンプルを用いるのに対し、ミニバッチ勾配降下法では、ランダムに分割したデータの集合（ミニバッチ）に属するサンプルの平均誤差を用いる。分割するため並列計算ができるため、確率的勾配降下法のメリットを損なわず、計算資源を有効活用し高速で学習できる。

w^{t+1} = w^t - \epsilon \nabla E_t\\
E_t = \frac {1}{N_t} \sum E_n

1.5 誤差逆伝搬法

直接数値微分を計算すると計算量が非常に多く、時間がかかってしまう。誤差逆伝搬法では出力層から算出された誤差から微分していき、一つ前の層に伝播することを繰り返しす。最小限の計算で各パラメータでの微分地を解析的に計算する。

2 深層学習Day2

2.1 勾配消失問題

勾配消失問題とは、誤差逆伝搬法を用いた時、下位層に進むにつれて、勾配が緩やかになっていくため、パラメータの更新量が小さくなり、全体最適解に収束しなくなることである。活性化関数として用いられるシグモイド関数では微分の最大値が0.25であるため、勾配消失問題を引き起こすことがあった。
勾配消失問題の解決策を以下に示す。
・活性化関数の選択
・重みの初期値設定
・バッチ正規化

2.1.1 活性化関数

活性化関数としてシグモイド関数ではなく、ReLU関数を用いることが勾配消失問題の対策の一つである。ReLU関数は以下の式で表される。

f(x)=
\begin{cases}
x & (x>0)\\
0 & (x \leqq 0)
\end{cases}

2.1.2 初期値の設定方法

重みの初期値を工夫することで勾配消失問題を解消することもできる。主な手法としてはXavierとHeがある。

2.1.2.1 Xavier

各重みに対して前のノード数（n）に対して$ \frac{1}{\sqrt{n}} $倍した正規分布で初期化を行う。活性化関数が線形である場合に用いることができる。

2.1.2.2 He

Xavierの$ \frac{1}{\sqrt{n}} $に対して$ \sqrt{\frac{2}{n}} $を用いる。活性化関数がReLUの場合に用いられる。

2.1.3 バッチ正規化

学習を行う際のミニバッチ単位で、正規化を行い、入力値のデータの偏りを抑制する手法である。勾配消失問題だけでなく、学習の高速化や過学習の抑制にも効果がある。

2.2 学習率最適化手法

深層学習では学習を通して誤差を最小とするようなパラメータを発見することが目的となる。その際に勾配降下法を用いてパラメータを最適化するが、学習率の値が小さすぎると学習に時間がかかってしまうことや、学習率の値が大きすぎる場合、発散してしまい最適なパラメータを見つけることができない。こういった問題を解決するための最適化手法について説明する。

2.2.1 モメンタム

勾配降下に慣性を持たせる手法である。過去の勾配を考慮することで急な変化を抑えることができる。
メリットとして、局所最適解にはならず、大域最適解を求められ、最適地に辿りつくまでの時間が短いことがあげられる。

V_t = \mu V_{t-1} - \epsilon \nabla E\\
w^{t+1} = w^t + V_t

2.2.2 AdaGrad

パラメータ更新の際に $\frac{1}{\sqrt{h_t} + \theta}$を掛けることでパラメータ更新が大きい場合は、学習率を小さくすることができる。
メリットとしては勾配の緩やかな斜面に対して、最適値に近づけることがある。
デメリットとしては学習率が徐々に小さくなるため、鞍点問題を引き起こす可能性があることである。

h_0 = \theta\\
h_t = h_{t-1} + ( \nabla E)^2\\
w^(t+1) = w^t -\epsilon \frac{1}{\sqrt{h_t} + \theta} \nabla E

2.2.3 RMSProp

AdaGradのデメリットを改良したものである。パラメータαを設定することで更新量が小さくなりすぎないように調整する。

h_0 = \theta\\
h_t = \alpha h_{t-1} + (1- \alpha)( \nabla E)^2\\
w^(t+1) = w^t -\epsilon \frac{1}{\sqrt{h_t} + \theta} \nabla E

2.2.4 Adam

RMSPropとモメンタムの考え方の良いとこを組み合わせた手法である。

2.3 過学習

過学習とは、訓練データの誤差が少なくなっているのに対し、テストデータの誤差が小さくならず、モデルの汎化性能が失われていることを示す。過学習を抑制する手法について説明する。

2.3.1 L1正則化、L2正則化

過学習の原因として、ネットワークの自由度が高すぎることが上げられる。自由度が高すぎる場合、重要な重みが大きくなりすぎ、他の値が小さくなることで重みにばらつきが発生する。このばらつきを抑制するために重みに対し罰則を設けることを正則化という。

2.3.2 ドロップアウト

ノード数が多いことも過学習の要因であるため、ノードをランダムに削除することで毎回異なるモデルを学習させているようにすることでも過学習を抑制できる。

2.4 畳み込みニューラルネットワーク

畳み込みニューラルネットワークとは主に画像認識に用いられるニューラルネットであり、音声認識等の時系列データにも利用されている。主に畳み込み層とプーリング層から構成されている。

2.4.1 畳み込み層

畳み込み層とは、3次元空間情報（画像の場合、縦、横、チャンネル）も学習できるような層のことである。
畳み込み層では、画像に対してフィルター（全結合の重み）をかけたものにバイアスを加えることで特徴を抽出する。

2.4.1.1 バイアス

フィルターを掛けた後に加える項のこと。

2.4.1.2 パディング

画像の周囲に固定のデータ（0が多い）を埋め込むこと。

2.4.1.3 ストライド

フィルタをずらす際の数のこと。

2.4.1.4 チャンネル

画像で例えると、RGBのこと。

2.4.1 プーリング層

対象領域から値を取り出し、特徴を捉える層のこと。最大値や平均値が取り出される。

2.5 最新のCNN

2.5.1 AlexNet

2012年にILSVRC（ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge）で優勝したモデル。このモデルの優勝から深層学習に注目が集まったと思われる。
AlexNetでは畳み込み層及びプーリング層（Max Pooling）が5層あり、全結合層が3層ある。初期に考案されたCNNに比べると層が深くなっているため、過学習の対策としてサイズ4096の全結合層の出力でドロップアウトを利用している。

3 深層学習Day1の実装演習

3.1 入力層～中間層の実装

forward_propagatioin

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')

import numpy as np
from common import functions

def print_vec(text, vec):
    print("*** " + text + " ***")
    print(vec)
    #print("shape: " + str(x.shape))
    print("")

# 順伝播（単層・単ユニット）
W = np.array([[0.1], [0.2]])

print_vec("重み", W)

b = 0.5

print_vec("バイアス", b)

x = np.array([2, 3])
print_vec("入力", x)

u = np.dot(x, W) + b
print_vec("総入力", u)

z = functions.relu(u)
print_vec("中間層出力", z)

3.2 活性化関数の実装

forward_propagation

# 順伝播（単層・複数ユニット）

# 重み
W = np.array([
    [0.1, 0.2, 0.3], 
    [0.2, 0.3, 0.4], 
    [0.3, 0.4, 0.5],
    [0.4, 0.5, 0.6]
])

print_vec("重み", W)

# バイアス
b = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
print_vec("バイアス", b)

# 入力値
x = np.array([1.0, 5.0, 2.0, -1.0])
print_vec("入力", x)


#  総入力
u = np.dot(x, W) + b
print_vec("総入力", u)

# 中間層出力
z = functions.sigmoid(u)
print_vec("中間層出力", z)

3.3 出力層の実装

forward_propagation

# 順伝播（3層・複数ユニット）

# ウェイトとバイアスを設定
# ネートワークを作成
def init_network():
    print("##### ネットワークの初期化 #####")
    network = {}

    network['W1'] = np.array([
        [0.1, 0.3, 0.5],
        [0.2, 0.4, 0.6]
    ])
    network['W2'] = np.array([
        [0.1, 0.4],
        [0.2, 0.5],
        [0.3, 0.6]
    ])
    network['W3'] = np.array([
        [0.1, 0.3],
        [0.2, 0.4]
    ])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['b3'] = np.array([1, 2])

    print_vec("重み1", network['W1'] )
    print_vec("重み2", network['W2'] )
    print_vec("重み3", network['W3'] )
    print_vec("バイアス1", network['b1'] )
    print_vec("バイアス2", network['b2'] )
    print_vec("バイアス3", network['b3'] )

    return network

# プロセスを作成
# x：入力値
def forward(network, x):

    print("##### 順伝播開始 #####")

    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']

    # 1層の総入力
    u1 = np.dot(x, W1) + b1

    # 1層の総出力
    z1 = functions.relu(u1)

    # 2層の総入力
    u2 = np.dot(z1, W2) + b2

    # 2層の総出力
    z2 = functions.relu(u2)

    # 出力層の総入力
    u3 = np.dot(z2, W3) + b3

    # 出力層の総出力
    y = u3

    print_vec("総入力1", u1)
    print_vec("中間層出力1", z1)
    print_vec("総入力2", u2)
    print_vec("出力1", z1)
    print("出力合計: " + str(np.sum(z1)))

    return y, z1, z2

# 入力値
x = np.array([1., 2.])
print_vec("入力", x)

# ネットワークの初期化
network =  init_network()

y, z1, z2 = forward(network, x)

3.3.1 誤差関数の実装

3.3.1.1 クロスエントロピーの実装

forward_propagation

# 多クラス分類
# ウェイトとバイアスを設定
# ネートワークを作成
def init_network():
    print("##### ネットワークの初期化 #####")

    network = {}
    network['W1'] = np.array([
        [0.1, 0.3, 0.5],
        [0.2, 0.4, 0.6]
    ])
    network['W2'] = np.array([
        [0.1, 0.4, 0.7, 1.0],
        [0.2, 0.5, 0.8, 1.1],
        [0.3, 0.6, 0.9, 1.2]
    ])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])

    print_vec("重み1", network['W1'] )
    print_vec("重み2", network['W2'] )
    print_vec("バイアス1", network['b1'] )
    print_vec("バイアス2", network['b2'] )

    return network

# プロセスを作成
# x：入力値
def forward(network, x):

    print("##### 順伝播開始 #####")
    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']

    # 1層の総入力
    u1 = np.dot(x, W1) + b1

    # 1層の総出力
    z1 = functions.relu(u1)

    # 2層の総入力
    u2 = np.dot(z1, W2) + b2

    # 出力値
    y = functions.softmax(u2)

    print_vec("総入力1", u1)
    print_vec("中間層出力1", z1)
    print_vec("総入力2", u2)
    print_vec("出力1", y)
    print("出力合計: " + str(np.sum(y)))

    return y, z1

## 事前データ
# 入力値
x = np.array([1., 2.])

# 目標出力
d = np.array([0, 0, 0, 1])

# ネットワークの初期化
network =  init_network()

# 出力
y, z1 = forward(network, x)

# 誤差
loss = functions.cross_entropy_error(d, y)

## 表示
print("\n##### 結果表示 #####")
print_vec("出力", y)
print_vec("訓練データ", d)
print_vec("誤差",  loss)

3.3.1.2 平均二乗誤差の実装

forward_propagation

# 回帰
# 2-3-2ネットワーク

# ウェイトとバイアスを設定
# ネートワークを作成
def init_network():
    print("##### ネットワークの初期化 #####")

    network = {}
    network['W1'] = np.array([
        [0.1, 0.3, 0.5],
        [0.2, 0.4, 0.6]
    ])
    network['W2'] = np.array([
        [0.1, 0.4],
        [0.2, 0.5],
        [0.3, 0.6]
    ])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])

    print_vec("重み1", network['W1'] )
    print_vec("重み2", network['W2'] )
    print_vec("バイアス1", network['b1'] )
    print_vec("バイアス2", network['b2'] )

    return network

# プロセスを作成
def forward(network, x):
    print("##### 順伝播開始 #####")

    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']
    # 隠れ層の総入力
    u1 = np.dot(x, W1) + b1
    # 隠れ層の総出力
    z1 = functions.relu(u1)
    # 出力層の総入力
    u2 = np.dot(z1, W2) + b2
    # 出力層の総出力
    y = u2

    print_vec("総入力1", u1)
    print_vec("中間層出力1", z1)
    print_vec("総入力2", u2)
    print_vec("出力1", y)
    print("出力合計: " + str(np.sum(z1)))

    return y, z1

# 入力値
x = np.array([1., 2.])
network =  init_network()
y, z1 = forward(network, x)
# 目標出力
d = np.array([2., 4.])
# 誤差
loss = functions.mean_squared_error(d, y)
## 表示
print("\n##### 結果表示 #####")
print_vec("中間層出力", z1)
print_vec("出力", y)
print_vec("訓練データ", d)
print_vec("誤差",  loss)

3.4 出力層の活性化関数の実装

シグモイド関数

forward_propagation

# 2値分類
# 2-3-1ネットワーク

# ウェイトとバイアスを設定
# ネートワークを作成
def init_network():
    print("##### ネットワークの初期化 #####")

    network = {}
    network['W1'] = np.array([
        [0.1, 0.3, 0.5],
        [0.2, 0.4, 0.6]
    ])
    network['W2'] = np.array([
        [0.2],
        [0.4],
        [0.6]
    ])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['b2'] = np.array([0.1])
    return network


# プロセスを作成
def forward(network, x):
    print("##### 順伝播開始 #####")

    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']    

    # 隠れ層の総入力
    u1 = np.dot(x, W1) + b1
    # 隠れ層の総出力
    z1 = functions.relu(u1)
    # 出力層の総入力
    u2 = np.dot(z1, W2) + b2
    # 出力層の総出力
    y = functions.sigmoid(u2)

    print_vec("総入力1", u1)
    print_vec("中間層出力1", z1)
    print_vec("総入力2", u2)
    print_vec("出力1", y)
    print("出力合計: " + str(np.sum(z1)))

    return y, z1


# 入力値
x = np.array([1., 2.])
# 目標出力
d = np.array([1])
network =  init_network()
y, z1 = forward(network, x)
# 誤差
loss = functions.cross_entropy_error(d, y)

## 表示
print("\n##### 結果表示 #####")
print_vec("中間層出力", z1)
print_vec("出力", y)
print_vec("訓練データ", d)
print_vec("誤差",  loss)

3.5 勾配降下法の実装

確率的勾配降下法

stochastic_gradient_descent

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')

import numpy as np
from common import functions
import matplotlib.pyplot as plt

def print_vec(text, vec):
    print("*** " + text + " ***")
    print(vec)
    #print("shape: " + str(x.shape))
    print("")

# サンプルとする関数
#yの値を予想するAI

def f(x):
    y = 3 * x[0] + 2 * x[1]
    return y

# 初期設定
def init_network():
    # print("##### ネットワークの初期化 #####")
    network = {}
    nodesNum = 10
    network['W1'] = np.random.randn(2, nodesNum)
    network['W2'] = np.random.randn(nodesNum)
    network['b1'] = np.random.randn(nodesNum)
    network['b2'] = np.random.randn()

    return network

# 順伝播
def forward(network, x):
    # print("##### 順伝播開始 #####")

    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']
    u1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = functions.relu(u1)

    ## 試してみよう
    #z1 = functions.sigmoid(u1)

    u2 = np.dot(z1, W2) + b2
    y = u2

    return z1, y

# 誤差逆伝播
def backward(x, d, z1, y):
    # print("\n##### 誤差逆伝播開始 #####")    

    grad = {}

    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']

    # 出力層でのデルタ
    delta2 = functions.d_mean_squared_error(d, y)
    # b2の勾配
    grad['b2'] = np.sum(delta2, axis=0)
    # W2の勾配
    grad['W2'] = np.dot(z1.T, delta2)

    delta1 = np.dot(delta2, W2.T) * functions.d_sigmoid(z1)

    delta1 = delta1[np.newaxis, :]
    # b1の勾配
    grad['b1'] = np.sum(delta1, axis=0)
    x = x[np.newaxis, :]
    # W1の勾配
    grad['W1'] = np.dot(x.T, delta1)

    return grad

# サンプルデータを作成
data_sets_size = 100000
data_sets = [0 for i in range(data_sets_size)]

for i in range(data_sets_size):
    data_sets[i] = {}
    # ランダムな値を設定
    data_sets[i]['x'] = np.random.rand(2)

    ## 試してみよう_入力値の設定
    # data_sets[i]['x'] = np.random.rand(2) * 10 -5 # -5〜5のランダム数値

    # 目標出力を設定
    data_sets[i]['d'] = f(data_sets[i]['x'])

losses = []
# 学習率
learning_rate = 0.07

# 抽出数
epoch = 1000

# パラメータの初期化
network = init_network()
# データのランダム抽出
random_datasets = np.random.choice(data_sets, epoch)

# 勾配降下の繰り返し
for dataset in random_datasets:
    x, d = dataset['x'], dataset['d']
    z1, y = forward(network, x)
    grad = backward(x, d, z1, y)
    # パラメータに勾配適用
    for key in ('W1', 'W2', 'b1', 'b2'):
        network[key]  -= learning_rate * grad[key]

    # 誤差
    loss = functions.mean_squared_error(d, y)
    losses.append(loss)

print("##### 結果表示 #####")    
lists = range(epoch)


plt.plot(lists, losses, '.')
# グラフの表示
plt.show()

3.6 誤差逆伝搬法の実装

back_propagation

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')

import numpy as np
from common import functions
import matplotlib.pyplot as plt

def print_vec(text, vec):
    print("*** " + text + " ***")
    print(vec)
    #print("shape: " + str(x.shape))
    print("")

# ウェイトとバイアスを設定
# ネートワークを作成
def init_network():
    print("##### ネットワークの初期化 #####")

    network = {}
    network['W1'] = np.array([
        [0.1, 0.3, 0.5],
        [0.2, 0.4, 0.6]
    ])

    network['W2'] = np.array([
        [0.1, 0.4],
        [0.2, 0.5],
        [0.3, 0.6]
    ])

    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])

    print_vec("重み1", network['W1'])
    print_vec("重み2", network['W2'])
    print_vec("バイアス1", network['b1'])
    print_vec("バイアス2", network['b2'])

    return network

# 順伝播
def forward(network, x):
    print("##### 順伝播開始 #####")

    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']

    u1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = functions.relu(u1)
    u2 = np.dot(z1, W2) + b2
    y = functions.softmax(u2)

    print_vec("総入力1", u1)
    print_vec("中間層出力1", z1)
    print_vec("総入力2", u2)
    print_vec("出力1", y)
    print("出力合計: " + str(np.sum(y)))

    return y, z1

# 誤差逆伝播
def backward(x, d, z1, y):
    print("\n##### 誤差逆伝播開始 #####")

    grad = {}

    W1, W2 = network['W1'], network['W2']
    b1, b2 = network['b1'], network['b2']
    #  出力層でのデルタ
    delta2 = functions.d_sigmoid_with_loss(d, y)
    #  b2の勾配
    grad['b2'] = np.sum(delta2, axis=0)
    #  W2の勾配
    grad['W2'] = np.dot(z1.T, delta2)
    #  中間層でのデルタ
    delta1 = np.dot(delta2, W2.T) * functions.d_relu(z1)
    # b1の勾配
    grad['b1'] = np.sum(delta1, axis=0)
    #  W1の勾配
    grad['W1'] = np.dot(x.T, delta1)

    print_vec("偏微分_dE/du2", delta2)
    print_vec("偏微分_dE/du2", delta1)

    print_vec("偏微分_重み1", grad["W1"])
    print_vec("偏微分_重み2", grad["W2"])
    print_vec("偏微分_バイアス1", grad["b1"])
    print_vec("偏微分_バイアス2", grad["b2"])

    return grad

# 訓練データ
x = np.array([[1.0, 5.0]])
# 目標出力
d = np.array([[0, 1]])
#  学習率
learning_rate = 0.01
network =  init_network()
y, z1 = forward(network, x)

# 誤差
loss = functions.cross_entropy_error(d, y)

grad = backward(x, d, z1, y)
for key in ('W1', 'W2', 'b1', 'b2'):
    network[key]  -= learning_rate * grad[key]

print("##### 結果表示 #####")    


print("##### 更新後パラメータ #####") 
print_vec("重み1", network['W1'])
print_vec("重み2", network['W2'])
print_vec("バイアス1", network['b1'])
print_vec("バイアス2", network['b2'])

4 深層学習Day2の実装演習

4.1 勾配消失問題の実装

シグモイド関数を用いて意図的に勾配消失を起こす。

vanishing_gradient

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')

import numpy as np
from common import layers
from collections import OrderedDict
from common import functions
from data.mnist import load_mnist
import matplotlib.pyplot as plt


class MultiLayerNet:
    '''
    input_size: 入力層のノード数
    hidden_size_list: 隠れ層のノード数のリスト
    output_size: 出力層のノード数
    activation: 活性化関数
    weight_init_std: 重みの初期化方法
    '''
    def __init__(self, input_size, hidden_size_list, output_size, activation='relu', weight_init_std='relu'):
        self.input_size = input_size
        self.output_size = output_size
        self.hidden_size_list = hidden_size_list
        self.hidden_layer_num = len(hidden_size_list)
        self.params = {}

        # 重みの初期化
        self.__init_weight(weight_init_std)

        # レイヤの生成, sigmoidとreluのみ扱う
        activation_layer = {'sigmoid': layers.Sigmoid, 'relu': layers.Relu}
        self.layers = OrderedDict() # 追加した順番に格納
        for idx in range(1, self.hidden_layer_num+1):
            self.layers['Affine' + str(idx)] = layers.Affine(self.params['W' + str(idx)], self.params['b' + str(idx)])
            self.layers['Activation_function' + str(idx)] = activation_layer[activation]()

        idx = self.hidden_layer_num + 1
        self.layers['Affine' + str(idx)] = layers.Affine(self.params['W' + str(idx)], self.params['b' + str(idx)])

        self.last_layer = layers.SoftmaxWithLoss()

    def __init_weight(self, weight_init_std):
        all_size_list = [self.input_size] + self.hidden_size_list + [self.output_size]
        for idx in range(1, len(all_size_list)):
            scale = weight_init_std
            if str(weight_init_std).lower() in ('relu', 'he'):
                scale = np.sqrt(2.0 / all_size_list[idx - 1])
            elif str(weight_init_std).lower() in ('sigmoid', 'xavier'):
                scale = np.sqrt(1.0 / all_size_list[idx - 1])

            self.params['W' + str(idx)] = scale * np.random.randn(all_size_list[idx-1], all_size_list[idx])
            self.params['b' + str(idx)] = np.zeros(all_size_list[idx])

    def predict(self, x):
        for layer in self.layers.values():
            x = layer.forward(x)

        return x

    def loss(self, x, d):
        y = self.predict(x)

        weight_decay = 0
        for idx in range(1, self.hidden_layer_num + 2):
            W = self.params['W' + str(idx)]

        return self.last_layer.forward(y, d) + weight_decay

    def accuracy(self, x, d):
        y = self.predict(x)
        y = np.argmax(y, axis=1)
        if d.ndim != 1 : d = np.argmax(d, axis=1)

        accuracy = np.sum(y == d) / float(x.shape[0])
        return accuracy

    def gradient(self, x, d):
        # forward
        self.loss(x, d)

        # backward
        dout = 1
        dout = self.last_layer.backward(dout)

        layers = list(self.layers.values())
        layers.reverse()
        for layer in layers:
            dout = layer.backward(dout)

        # 設定
        grad = {}
        for idx in range(1, self.hidden_layer_num+2):
            grad['W' + str(idx)] = self.layers['Affine' + str(idx)].dW
            grad['b' + str(idx)] = self.layers['Affine' + str(idx)].db

        return grad

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='sigmoid', weight_init_std=0.01)

iters_num = 2000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)

    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]

    loss = network.loss(x_batch, d_batch)
    train_loss_list.append(loss)

    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

勾配が消失してしまい、training set、test set両方ともaccuracyが上がらないことがわかる。
勾配消失に強いReLU関数で実装してみる。

vanishing_gradient

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='relu', weight_init_std=0.01)

iters_num = 2000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)

    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]

    loss = network.loss(x_batch, d_batch)
    train_loss_list.append(loss)

    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

カウントが500を過ぎたあたりからaccuracyが上がっており、問題が解消していることがわかった。

4.2 学習率最適化手法の実装

4.2.1 SGDの実装

optimizer

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN/lesson_2')

import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 親ディレクトリのファイルをインポートするための設定
import numpy as np
from collections import OrderedDict
from common import layers
from data.mnist import load_mnist
import matplotlib.pyplot as plt
from multi_layer_net import MultiLayerNet


# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

# batch_normalizationの設定 ================================
# use_batchnorm = True
use_batchnorm = False
# ====================================================


network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='sigmoid', weight_init_std=0.01,
                       use_batchnorm=use_batchnorm)

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.01

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)

    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]

        loss = network.loss(x_batch, d_batch)
        train_loss_list.append(loss)


    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

SGDではうまく学習ができなかった。

4.2.2 Momentumの実装

optimizer

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

# batch_normalizationの設定 ================================
# use_batchnorm = True
use_batchnorm = False
# ====================================================

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='sigmoid', weight_init_std=0.01,
                       use_batchnorm=use_batchnorm)

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.01
# 慣性
momentum = 0.9

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    if i == 0:
        v = {}
    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        if i == 0:
            v[key] = np.zeros_like(network.params[key])
        v[key] = momentum * v[key] - learning_rate * grad[key]
        network.params[key] += v[key]

        loss = network.loss(x_batch, d_batch)
        train_loss_list.append(loss)

    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

モメンタムでも学習がうまくできなかった。

4.2.3 Adagradの実装

optimizer

# AdaGradを作ってみよう
# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

# batch_normalizationの設定 ================================
# use_batchnorm = True
use_batchnorm = False
# ====================================================

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='sigmoid', weight_init_std=0.01,
                       use_batchnorm=use_batchnorm)

iters_num = 1000
# iters_num = 500 # 処理を短縮

train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.01

momentum = 0.9 

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    if i == 0:
        h = {}
    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):

        # 変更しよう  
        # ===========================================
        if i == 0:
            h[key] = np.zeros_like(network.params[key])        
        h[key] = momentum * h[key] - learning_rate * grad[key]
        network.params[key] += h[key]

        # ===========================================

        loss = network.loss(x_batch, d_batch)
        train_loss_list.append(loss)

    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

同様にうまく学習できなかった。

4.4 RMSProp

optimizer

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

# batch_normalizationの設定 ================================
# use_batchnorm = True
use_batchnorm = False
# ====================================================

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='sigmoid', weight_init_std=0.01,
                       use_batchnorm=use_batchnorm)

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.01
decay_rate = 0.99

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    if i == 0:
        h = {}
    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        if i == 0:
            h[key] = np.zeros_like(network.params[key])
        h[key] *= decay_rate
        h[key] += (1 - decay_rate) * np.square(grad[key])
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key] / (np.sqrt(h[key]) + 1e-7)

        loss = network.loss(x_batch, d_batch)
        train_loss_list.append(loss)                

    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

パラメータ更新の学習率を徐々に小さくすることで学習がうまくできた。

4.2.5 Adam

optimizer

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)

print("データ読み込み完了")

# batch_normalizationの設定 ================================
# use_batchnorm = True
use_batchnorm = False
# ====================================================

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[40, 20], output_size=10, activation='sigmoid', weight_init_std=0.01,
                       use_batchnorm=use_batchnorm)

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.01
beta1 = 0.9
beta2 = 0.999

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    # 勾配
    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    if i == 0:
        m = {}
        v = {}
    learning_rate_t  = learning_rate * np.sqrt(1.0 - beta2 ** (i + 1)) / (1.0 - beta1 ** (i + 1))    
    for key in ('W1', 'W2', 'W3', 'b1', 'b2', 'b3'):
        if i == 0:
            m[key] = np.zeros_like(network.params[key])
            v[key] = np.zeros_like(network.params[key])

        m[key] += (1 - beta1) * (grad[key] - m[key])
        v[key] += (1 - beta2) * (grad[key] ** 2 - v[key])            
        network.params[key] -= learning_rate_t * m[key] / (np.sqrt(v[key]) + 1e-7)                


    if (i + 1) % plot_interval == 0:
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_test.append(accr_test)        
        accr_train = network.accuracy(x_batch, d_batch)
        accuracies_train.append(accr_train)
        loss = network.loss(x_batch, d_batch)
        train_loss_list.append(loss)        

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

RMSPropの考え方を利用しているAdamでも学習をうまくできた。

4.3 過学習の実装

overfiting

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN/lesson_2')

import numpy as np
from collections import OrderedDict
from common import layers
from data.mnist import load_mnist
import matplotlib.pyplot as plt
from multi_layer_net import MultiLayerNet
from common import optimizer


(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True)

print("データ読み込み完了")

# 過学習を再現するために、学習データを削減
x_train = x_train[:300]
d_train = d_train[:300]

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[100, 100, 100, 100, 100, 100], output_size=10)
optimizer = optimizer.SGD(learning_rate=0.01)

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10


for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    optimizer.update(network.params, grad)

    loss = network.loss(x_batch, d_batch)
    train_loss_list.append(loss)

    if (i+1) % plot_interval == 0:
        accr_train = network.accuracy(x_train, d_train)
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_train.append(accr_train)
        accuracies_test.append(accr_test)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))        

lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

training setに対しては殆ど100%のaccuracyに対し、test setに対しては7割程度と過学習を起こしていることが分かる。

4.3.1 L2正則化

overfiting

from common import optimizer

(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True)

print("データ読み込み完了")

# 過学習を再現するために、学習データを削減
x_train = x_train[:300]
d_train = d_train[:300]


network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[100, 100, 100, 100, 100, 100], output_size=10)


iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate=0.01

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10
hidden_layer_num = network.hidden_layer_num

# 正則化強度設定 ======================================
weight_decay_lambda = 0.1
# =================================================

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    weight_decay = 0

    for idx in range(1, hidden_layer_num+1):
        grad['W' + str(idx)] = network.layers['Affine' + str(idx)].dW + weight_decay_lambda * network.params['W' + str(idx)]
        grad['b' + str(idx)] = network.layers['Affine' + str(idx)].db
        network.params['W' + str(idx)] -= learning_rate * grad['W' + str(idx)]
        network.params['b' + str(idx)] -= learning_rate * grad['b' + str(idx)]        
        weight_decay += 0.5 * weight_decay_lambda * np.sqrt(np.sum(network.params['W' + str(idx)] ** 2))

    loss = network.loss(x_batch, d_batch) + weight_decay
    train_loss_list.append(loss)        

    if (i+1) % plot_interval == 0:
        accr_train = network.accuracy(x_train, d_train)
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_train.append(accr_train)
        accuracies_test.append(accr_test)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))               


lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

training setのaccuracyが下がっているため、過学習を抑制できていることがわかる。

4.3.2 L1正則化

overfiting

(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True)

print("データ読み込み完了")

# 過学習を再現するために、学習データを削減
x_train = x_train[:300]
d_train = d_train[:300]

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[100, 100, 100, 100, 100, 100], output_size=10)


iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate=0.1

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10
hidden_layer_num = network.hidden_layer_num

# 正則化強度設定 ======================================
weight_decay_lambda = 0.005
# =================================================

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    weight_decay = 0

    for idx in range(1, hidden_layer_num+1):
        grad['W' + str(idx)] = network.layers['Affine' + str(idx)].dW + weight_decay_lambda * np.sign(network.params['W' + str(idx)])
        grad['b' + str(idx)] = network.layers['Affine' + str(idx)].db
        network.params['W' + str(idx)] -= learning_rate * grad['W' + str(idx)]
        network.params['b' + str(idx)] -= learning_rate * grad['b' + str(idx)]        
        weight_decay += weight_decay_lambda * np.sum(np.abs(network.params['W' + str(idx)]))

    loss = network.loss(x_batch, d_batch) + weight_decay
    train_loss_list.append(loss)        

    if (i+1) % plot_interval == 0:
        accr_train = network.accuracy(x_train, d_train)
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_train.append(accr_train)
        accuracies_test.append(accr_test)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))               

lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

同様に過学習を抑制でき、スパースであることがわかる。

4.3.3 Drop out

overfiting

class Dropout:
    def __init__(self, dropout_ratio=0.5):
        self.dropout_ratio = dropout_ratio
        self.mask = None

    def forward(self, x, train_flg=True):
        if train_flg:
            self.mask = np.random.rand(*x.shape) > self.dropout_ratio
            return x * self.mask
        else:
            return x * (1.0 - self.dropout_ratio)

    def backward(self, dout):
        return dout * self.mask

from common import optimizer
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(normalize=True)

print("データ読み込み完了")

# 過学習を再現するために、学習データを削減
x_train = x_train[:300]
d_train = d_train[:300]

# ドロップアウト設定 ======================================
use_dropout = True
dropout_ratio = 0.15
# ====================================================

network = MultiLayerNet(input_size=784, hidden_size_list=[100, 100, 100, 100, 100, 100], output_size=10,
                        weight_decay_lambda=weight_decay_lambda, use_dropout = use_dropout, dropout_ratio = dropout_ratio)
optimizer = optimizer.SGD(learning_rate=0.01)
# optimizer = optimizer.Momentum(learning_rate=0.01, momentum=0.9)
# optimizer = optimizer.AdaGrad(learning_rate=0.01)
# optimizer = optimizer.Adam()

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10


for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    optimizer.update(network.params, grad)

    loss = network.loss(x_batch, d_batch)
    train_loss_list.append(loss)    

    if (i+1) % plot_interval == 0:
        accr_train = network.accuracy(x_train, d_train)
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_train.append(accr_train)
        accuracies_test.append(accr_test)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))        

lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

同様に過学習が抑制できていることがわかる。

4.4 畳み込みニューラルネットワークの概念の実装

simple_convolution_network

from google.colab import drive
drive.mount('/content/drive')

import sys
sys.path.append('/content/drive/MyDrive/DNN')

import pickle
import numpy as np
from collections import OrderedDict
from common import layers
from common import optimizer
from data.mnist import load_mnist
import matplotlib.pyplot as plt

# 画像データを２次元配列に変換
'''
input_data: 入力値
filter_h: フィルターの高さ
filter_w: フィルターの横幅
stride: ストライド
pad: パディング
'''
def im2col(input_data, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0):
    # N: number, C: channel, H: height, W: width
    N, C, H, W = input_data.shape
    out_h = (H + 2 * pad - filter_h)//stride + 1
    out_w = (W + 2 * pad - filter_w)//stride + 1

    img = np.pad(input_data, [(0,0), (0,0), (pad, pad), (pad, pad)], 'constant')
    col = np.zeros((N, C, filter_h, filter_w, out_h, out_w))

    for y in range(filter_h):
        y_max = y + stride * out_h
        for x in range(filter_w):
            x_max = x + stride * out_w
            col[:, :, y, x, :, :] = img[:, :, y:y_max:stride, x:x_max:stride]

    col = col.transpose(0, 4, 5, 1, 2, 3) # (N, C, filter_h, filter_w, out_h, out_w) -> (N, filter_w, out_h, out_w, C, filter_h)    

    col = col.reshape(N * out_h * out_w, -1)
    return col

# im2colの処理確認
input_data = np.random.rand(2, 1, 4, 4)*100//1 # number, channel, height, widthを表す
print('========== input_data ===========\n', input_data)
print('==============================')
filter_h = 3
filter_w = 3
stride = 1
pad = 0
col = im2col(input_data, filter_h=filter_h, filter_w=filter_w, stride=stride, pad=pad)
print('============= col ==============\n', col)
print('==============================')

# ２次元配列を画像データに変換
def col2im(col, input_shape, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0):
    # N: number, C: channel, H: height, W: width
    N, C, H, W = input_shape
    # 切り捨て除算    
    out_h = (H + 2 * pad - filter_h)//stride + 1
    out_w = (W + 2 * pad - filter_w)//stride + 1
    col = col.reshape(N, out_h, out_w, C, filter_h, filter_w).transpose(0, 3, 4, 5, 1, 2) # (N, filter_h, filter_w, out_h, out_w, C)

    img = np.zeros((N, C, H + 2 * pad + stride - 1, W + 2 * pad + stride - 1))
    for y in range(filter_h):
        y_max = y + stride * out_h
        for x in range(filter_w):
            x_max = x + stride * out_w
            img[:, :, y:y_max:stride, x:x_max:stride] += col[:, :, y, x, :, :]

    return img[:, :, pad:H + pad, pad:W + pad]

class Convolution:
    # W: フィルター, b: バイアス
    def __init__(self, W, b, stride=1, pad=0):
        self.W = W
        self.b = b
        self.stride = stride
        self.pad = pad

        # 中間データ（backward時に使用）
        self.x = None   
        self.col = None
        self.col_W = None

        # フィルター・バイアスパラメータの勾配
        self.dW = None
        self.db = None

    def forward(self, x):
        # FN: filter_number, C: channel, FH: filter_height, FW: filter_width
        FN, C, FH, FW = self.W.shape
        N, C, H, W = x.shape
        # 出力値のheight, width
        out_h = 1 + int((H + 2 * self.pad - FH) / self.stride)
        out_w = 1 + int((W + 2 * self.pad - FW) / self.stride)

        # xを行列に変換
        col = im2col(x, FH, FW, self.stride, self.pad)
        # フィルターをxに合わせた行列に変換
        col_W = self.W.reshape(FN, -1).T

        out = np.dot(col, col_W) + self.b
        # 計算のために変えた形式を戻す
        out = out.reshape(N, out_h, out_w, -1).transpose(0, 3, 1, 2)

        self.x = x
        self.col = col
        self.col_W = col_W

        return out

    def backward(self, dout):
        FN, C, FH, FW = self.W.shape
        dout = dout.transpose(0, 2, 3, 1).reshape(-1, FN)

        self.db = np.sum(dout, axis=0)
        self.dW = np.dot(self.col.T, dout)
        self.dW = self.dW.transpose(1, 0).reshape(FN, C, FH, FW)

        dcol = np.dot(dout, self.col_W.T)
        # dcolを画像データに変換
        dx = col2im(dcol, self.x.shape, FH, FW, self.stride, self.pad)

        return dx

class Pooling:
    def __init__(self, pool_h, pool_w, stride=1, pad=0):
        self.pool_h = pool_h
        self.pool_w = pool_w
        self.stride = stride
        self.pad = pad

        self.x = None
        self.arg_max = None

    def forward(self, x):
        N, C, H, W = x.shape
        out_h = int(1 + (H - self.pool_h) / self.stride)
        out_w = int(1 + (W - self.pool_w) / self.stride)

        # xを行列に変換
        col = im2col(x, self.pool_h, self.pool_w, self.stride, self.pad)
        # プーリングのサイズに合わせてリサイズ
        col = col.reshape(-1, self.pool_h*self.pool_w)

        # 行ごとに最大値を求める
        arg_max = np.argmax(col, axis=1)
        out = np.max(col, axis=1)
        # 整形
        out = out.reshape(N, out_h, out_w, C).transpose(0, 3, 1, 2)

        self.x = x
        self.arg_max = arg_max

        return out

    def backward(self, dout):
        dout = dout.transpose(0, 2, 3, 1)

        pool_size = self.pool_h * self.pool_w
        dmax = np.zeros((dout.size, pool_size))
        dmax[np.arange(self.arg_max.size), self.arg_max.flatten()] = dout.flatten()
        dmax = dmax.reshape(dout.shape + (pool_size,)) 

        dcol = dmax.reshape(dmax.shape[0] * dmax.shape[1] * dmax.shape[2], -1)
        dx = col2im(dcol, self.x.shape, self.pool_h, self.pool_w, self.stride, self.pad)

        return dx

class SimpleConvNet:
    # conv - relu - pool - affine - relu - affine - softmax
    def __init__(self, input_dim=(1, 28, 28), conv_param={'filter_num':30, 'filter_size':5, 'pad':0, 'stride':1},
                 hidden_size=100, output_size=10, weight_init_std=0.01):
        filter_num = conv_param['filter_num']        
        filter_size = conv_param['filter_size']
        filter_pad = conv_param['pad']
        filter_stride = conv_param['stride']
        input_size = input_dim[1]
        conv_output_size = (input_size - filter_size + 2 * filter_pad) / filter_stride + 1
        pool_output_size = int(filter_num * (conv_output_size / 2) * (conv_output_size / 2))

        # 重みの初期化
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(filter_num, input_dim[0], filter_size, filter_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(filter_num)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(pool_output_size, hidden_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W3'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b3'] = np.zeros(output_size)

        # レイヤの生成
        self.layers = OrderedDict()
        self.layers['Conv1'] = layers.Convolution(self.params['W1'], self.params['b1'], conv_param['stride'], conv_param['pad'])
        self.layers['Relu1'] = layers.Relu()
        self.layers['Pool1'] = layers.Pooling(pool_h=2, pool_w=2, stride=2)
        self.layers['Affine1'] = layers.Affine(self.params['W2'], self.params['b2'])
        self.layers['Relu2'] = layers.Relu()
        self.layers['Affine2'] = layers.Affine(self.params['W3'], self.params['b3'])

        self.last_layer = layers.SoftmaxWithLoss()

    def predict(self, x):
        for key in self.layers.keys():
            x = self.layers[key].forward(x)
        return x

    def loss(self, x, d):
        y = self.predict(x)
        return self.last_layer.forward(y, d)

    def accuracy(self, x, d, batch_size=100):
        if d.ndim != 1 : d = np.argmax(d, axis=1)

        acc = 0.0

        for i in range(int(x.shape[0] / batch_size)):
            tx = x[i*batch_size:(i+1)*batch_size]
            td = d[i*batch_size:(i+1)*batch_size]
            y = self.predict(tx)
            y = np.argmax(y, axis=1)
            acc += np.sum(y == td) 

        return acc / x.shape[0]

    def gradient(self, x, d):
        # forward
        self.loss(x, d)

        # backward
        dout = 1
        dout = self.last_layer.backward(dout)
        layers = list(self.layers.values())

        layers.reverse()
        for layer in layers:
            dout = layer.backward(dout)

        # 設定
        grad = {}
        grad['W1'], grad['b1'] = self.layers['Conv1'].dW, self.layers['Conv1'].db
        grad['W2'], grad['b2'] = self.layers['Affine1'].dW, self.layers['Affine1'].db
        grad['W3'], grad['b3'] = self.layers['Affine2'].dW, self.layers['Affine2'].db

        return grad

from common import optimizer

# データの読み込み
(x_train, d_train), (x_test, d_test) = load_mnist(flatten=False)

print("データ読み込み完了")

# 処理に時間のかかる場合はデータを削減 
x_train, d_train = x_train[:5000], d_train[:5000]
x_test, d_test = x_test[:1000], d_test[:1000]


network = SimpleConvNet(input_dim=(1,28,28), conv_param = {'filter_num': 30, 'filter_size': 5, 'pad': 0, 'stride': 1},
                        hidden_size=100, output_size=10, weight_init_std=0.01)

optimizer = optimizer.Adam()

iters_num = 1000
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100

train_loss_list = []
accuracies_train = []
accuracies_test = []

plot_interval=10



for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    d_batch = d_train[batch_mask]

    grad = network.gradient(x_batch, d_batch)
    optimizer.update(network.params, grad)

    loss = network.loss(x_batch, d_batch)
    train_loss_list.append(loss)

    if (i+1) % plot_interval == 0:
        accr_train = network.accuracy(x_train, d_train)
        accr_test = network.accuracy(x_test, d_test)
        accuracies_train.append(accr_train)
        accuracies_test.append(accr_test)

        print('Generation: ' + str(i+1) + '. 正答率(トレーニング) = ' + str(accr_train))
        print('                : ' + str(i+1) + '. 正答率(テスト) = ' + str(accr_test))               

lists = range(0, iters_num, plot_interval)
plt.plot(lists, accuracies_train, label="training set")
plt.plot(lists, accuracies_test,  label="test set")
plt.legend(loc="lower right")
plt.title("accuracy")
plt.xlabel("count")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
# グラフの表示
plt.show()

4.5 最新のCNNの実装

AlexNet

class AlexNet(nn.Module):

    def __init__(self, num_classes=1000):
        super(AlexNet, self).__init__()
        self.features = nn.Sequential(
            nn.Conv2d(3, 64, kernel_size=11, stride=4, padding=2),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2),
            nn.Conv2d(64, 192, kernel_size=5, padding=2),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2),
            nn.Conv2d(192, 384, kernel_size=3, padding=1),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.Conv2d(384, 256, kernel_size=3, padding=1),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.Conv2d(256, 256, kernel_size=3, padding=1),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2),
        )
        self.classifier = nn.Sequential(
            nn.Dropout(),
            nn.Linear(256 * 6 * 6, 4096),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.Dropout(),
            nn.Linear(4096, 4096),
            nn.ReLU(inplace=True),
            nn.Linear(4096, num_classes),
        )

    def forward(self, x):
        x = self.features(x)
        x = x.view(x.size(0), 256 * 6 * 6)
        x = self.classifier(x)
        return x

5 深層学習Day1の確認テスト

5.1 確認テスト

ディープラーニングは、結局何をやろうとしているか2行以内で述べよ。また、次の中のどの値の最適化が最終目的か。また、次の中のどの値の最適化が最終目的か。

入力値から求める出力値を出力するようなニューラルネットワークを構築すること。
③重み[W]
④バイアス[b]

5.2 確認テスト2

次のネットワークを紙にかけ。
入力層：2ノード1層
中間層：3ノード1層
出力層：1ノード1層

省略

5.3 確認テスト3

この図式に動物分類の実例を入れてみよう。

省略

5.4 確認テスト4

この数式をPythonで書け。

u = np.dot(x, W) + b

5.5 確認テスト5

1-1のファイルから中間層の出力を定義しているソースを抜き出せ。

z2 = functions.relu(u2)

5.6 確認テスト6

線形と非線形の違いを図にかいて簡易に説明せよ。

省略

5.7 確認テスト7

配布されたソースコードより該当する箇所を抜き出せ。

z1 = functions.sigmoid(u)

5.8 確認テスト8

なぜ引き算でなく二乗するか述べよ。
1/2はどういう意味をもつか述べよ。

誤差を正の値にするため。
微分の計算を楽にするため。

5.9 確認テスト9

①～③の数式に該当するソースコードを示し、一行ずつ処理の説明をせよ。

# ソフトマックス関数
def softmax(x):
    if x.ndim == 2: # 次元が2のとき実行
        x = x.T # xの転置
        x = x - np.max(x, axis=0) # オーバーフロー対策
        y = np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=0) # ソフトマックス関数の出力結果をyに代入
        return y.T

    x = x - np.max(x) # オーバーフロー対策
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

5.10 確認テスト10

①～②の数式に該当するソースコードを示し、一行ずつ処理の説明をせよ。

# クロスエントロピー
def cross_entropy_error(d, y):
    if y.ndim == 1: # 次元が1の時実行
        d = d.reshape(1, d.size) # 1×dの要素数の行列に変換
        y = y.reshape(1, y.size) # 1×yの要素数の行列に変換

    # 教師データがone-hot-vectorの場合、正解ラベルのインデックスに変換
    if d.size == y.size:
        d = d.argmax(axis=1) # dが最大となるインデックスを取得

    batch_size = y.shape[0]
    return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), d] + 1e-7)) / batch_size # 1e-7を足すことで調整

5.11 確認テスト11

該当するソースコードを探してみよう。

# クロスエントロピー
network[key]  -= learning_rate * grad[key]

5.12 確認テスト12

オンライン学習とは何か2行まとめよ。

新しい学習データを入手する毎に、新しいデータを用いて学習を行うこと。

5.13 確認テスト13

この数式の意味を図に書いて説明せよ。

省略

5.14 確認テスト14

誤差逆伝搬法では不要な再帰的処理を避けることができる。既に行った計算結果を保持しているソースコードを抽出せよ。

#  出力層でのデルタ
delta2 = functions.d_sigmoid_with_loss(d, y)
#  b2の勾配
grad['b2'] = np.sum(delta2, axis=0)
#  W2の勾配
grad['W2'] = np.dot(z1.T, delta2)
#  中間層でのデルタ
delta1 = np.dot(delta2, W2.T) * functions.d_relu(z1)
# b1の勾配
grad['b1'] = np.sum(delta1, axis=0)
#  W1の勾配
grad['W1'] = np.dot(x.T, delta1)

5.15 確認テスト15

2つの空欄に該当するソースコードを探せ。

$\frac{ \partial E }{ \partial y } \frac{ \partial y }{ \partial u }$

delta2 = functions.d_sigmoid_with_loss(d, y)

$\frac{ \partial E }{ \partial y } \frac{ \partial y }{ \partial u } \frac{ \partial u }{ \partial w^{(2)}_{ji} }$

grad['W2'] = np.dot(z1.T, delta2)

6 深層学習Day2の確認テスト

6.1 確認テスト1

連鎖率の原理を使い、$\frac{dz}{dx}$を求めよ。

z = t^2\\
t = x + y\\

\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dt} \frac{dt}{dx} = 2t × 1 = 2(x+y)

6.2 確認テスト2

シグモイド関数を微分した時、入力値が0の時に最大値をとる。その値として正しいものを選択しから選べ。

(2) 0.25

6.3 確認テスト3

重みの初期値に0を設定すると、どのような問題が発生するか。完結に説明せよ。

全ての重みが均一に更新されてしまい、正しく学習を行うことができない。

6.4 確認テスト4

一般的に考えられるバッチ正規化の効果を2点挙げよ。

勾配消失問題が起こりづらくなる。
計算を高速に行うことができる。

6.5 確認テスト5

モメンタム・AdaGrad・RMSPropの特徴をそれぞれ簡潔に説明せよ。

・モメンタム
局所最適解にならず、大域的最適解になる。
最適値にいくまでの時間が早い。
・AdaGrad
勾配の緩やかなものでも最適値に近づくことができる。
・RMSProp
局所最適解にならず、大域的最適解になる。
ハイパーパラメータの調整が必要な場合が少ない。

6.6 確認テスト6

機械学習で使われる線形モデルの正則化は、モデルの重みを制限することで可能となる、線形モデルの正則化手法の中にリッジ回帰という手法があり、その特徴として正しい物を選択しなさい。

(a) ハイパーパラメータを大きな値に設定すると、すべての重みが限りなく0に近づく。

6.7 確認テスト7

下図について、L1正則化を表しているグラフはどちらか答えよ。

Lasso推定量のグラフ。

6.8 確認テスト8

サイズ6*6の入力画像を、サイズ2*2のフィルタで畳み込んだ時の出力画像のサイズを答えよ。なおストライドとパディングは1とする。

(6 + 2*1 -2) / 1 + 1 = 7
7*7