SmartyからVueに変数を渡すときは、PHPでjson_encodeをしてから、テンプレートに渡します。

json_encodeをしないと、おかしな挙動をします。※参考

index.html

// v-bindを用いて、文字列のurlを渡します
// ダブルクオートだとバグります
// シングルクオートで渡しましょう
<Example :url='{$url}'></Example>

以下のようにして、Vueのコンポーネントでpropsとして受け取ります。

example.vue

export default defineComponent({
    props: {
        url: { required: true, type: String },
    },
})

参考

PHPでjson_encodeをせず、Vueで変数を受け取ってconsole.logすると、以下の結果になります。