条件付き確率とベイズの定理を統計学の視点から徹底比較〜具体例で学ぶ基本と応用〜

統計学において「条件付き確率」と「ベイズの定理」は、基礎でありながら実務にも直結する重要な概念です。この記事では、統計検定の学習を兼ねて、この2つの違いや関係性を、具体的なデータを用いてわかりやすく解説します。

条件付き確率とは何か？

まず、**条件付き確率（Conditional Probability）**とは、ある事象 $B$ が起きたときに、別の事象 $A$ が起こる確率のことです。記号で表すと以下のようになります。

$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{（ただし } P(B) > 0\text{）}
$$

ここで、$P(A \cap B)$ は $A$ かつ $B$ が同時に起こる確率、$P(B)$ は事象 $B$ が起こる確率です。

**ベイズの定理（Bayes' Theorem）**は、条件付き確率を逆に求める公式です。

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

これは、既知の情報（$B$ の観測）に基づいて、原因（$A$ の確率）を推定するもので、機械学習、医療診断、信頼性工学など幅広い分野で応用されています。

ここで求めたいのは $P(\text{病気}|\text{陽性})$ です。これはベイズの定理で計算します。

$$
P(\text{病気}|\text{陽性}) = \frac{P(\text{陽性}|\text{病気}) \cdot P(\text{病気})}{P(\text{陽性})}
$$

分母の $P(\text{陽性})$ は全体で陽性となる確率で、以下のように計算されます：

$$
P(\text{陽性}) = P(\text{陽性}|\text{病気}) \cdot P(\text{病気}) + P(\text{陽性}|\text{非病気}) \cdot P(\text{非病気})
$$

$$
= 0.99 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
$$

したがって：

$$
P(\text{病気}|\text{陽性}) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} = \frac{0.0099}{0.0594} \approx 0.1667
$$

陽性と診断されても、実際に病気である確率は約16.7%しかありません。

この結果は直感に反するかもしれませんが、「母集団に対する病気の発生率（有病率）」が低いため、偽陽性の影響が大きいのです。

条件付き確率とベイズの定理は、密接に関連しながらも役割が異なる概念です。統計解析や意思決定において、「観測からどのように原因を推測するか」を考える際、ベイズの視点は非常に重要になります。