見かけてぱっと答えられなかったのでメモ。別解も色々あるらしい。
どっちかって言うと、Qiita に受験数学の解答を書いてみたかった。
Q
中心 $O$ の単位円に内接する三角形 $ABC$ について、
$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}| = 1 \Leftrightarrow ABC は直角三角形$
を示せ
A
⇐
一般性を失わずに $AB$ が長辺すなわち直径としていい。
このとき、 $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}$ だから、
$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OC}| = 1$
⇒
$OA$, $OB$, $OC$ それぞれの長さは 1 で、条件式より和も1である。
$OB$ を $A$ が始点となるように平行移動して $\overrightarrow{AB'}$ をとる。
また、$OC$ を $B'$ を始点となるように平行移動して $\overrightarrow{B'C'}$ をとる。
|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{B'C'}| = |\overrightarrow{AC'}| = 1
なので、4点 $OAB'C'$ の位置関係はそれぞれ以下のいずれかになる。
Case $A = C'$
$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB'} = -\overrightarrow{B'C'} = -\overrightarrow{OC}$ から、$B$, $O$, $C$ は一直線上にあり、直線 $BC$ は外接円の直径になる。このとき、ABC は BC 斜辺とする直角三角形である。
Case $O = B'$
$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AB'} = -\overrightarrow{OB}$ であり、$AB$ が外接円の直径になり、$ABC$ は $AB$ 斜辺とする直角三角形になる。
Case 4点がそれぞれ異なる位置にある
全ての辺の長さが1の四角形で、菱形となる。すなわち、$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{B'C'}=-\overrightarrow{CO}$ ので、$ABC$ は $AC$ 斜辺とする直角三角形になる。