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中心 O の単位円に内接する三角形 ABC について、 |OA+OB+OC|=1⇔ABCは直角三角形を示す

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見かけてぱっと答えられなかったのでメモ。別解も色々あるらしい。

どっちかって言うと、Qiita に受験数学の解答を書いてみたかった。


Q


中心 $O$ の単位円に内接する三角形 $ABC$ について、

$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}| = 1 \Leftrightarrow ABC は直角三角形$

を示せ



A


一般性を失わずに $AB$ が長辺すなわち直径としていい。

このとき、 $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}$ だから、

$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OC}| = 1$


$OA$, $OB$, $OC$ それぞれの長さは 1 で、条件式より和も1である。

$OB$ を $A$ が始点となるように平行移動して $\overrightarrow{AB'}$ をとる。

また、$OC$ を $B'$ を始点となるように平行移動して $\overrightarrow{B'C'}$ をとる。

|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{B'C'}| = |\overrightarrow{AC'}| = 1

なので、4点 $OAB'C'$ の位置関係はそれぞれ以下のいずれかになる。

Case $A = C'$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB'} = -\overrightarrow{B'C'} = -\overrightarrow{OC}$ から、$B$, $O$, $C$ は一直線上にあり、直線 $BC$ は外接円の直径になる。このとき、ABC は BC 斜辺とする直角三角形である。

Case $O = B'$

$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AB'} = -\overrightarrow{OB}$ であり、$AB$ が外接円の直径になり、$ABC$ は $AB$ 斜辺とする直角三角形になる。

Case 4点がそれぞれ異なる位置にある

全ての辺の長さが1の四角形で、菱形となる。すなわち、$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{B'C'}=-\overrightarrow{CO}$ ので、$ABC$ は $AC$ 斜辺とする直角三角形になる。