あまりエンジニア向きの記事ではないかもしれませんが、求める機会がありどこにも載っていなかったので自力で導出してメモとして残しておきます。むしろ大学数学の記事かも。
今回は逆三角関数の中でも、逆正接関数の和の公式の証明していきます。
逆正接関数と和の公式
高校数学でお馴染み正接関数は、いわゆるタンジェント。
$x=tan\theta$ $(-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}, -\infty<x<\infty)$
その逆関数を逆正接関数といい、アークタンジェントと呼びます。定義は以下。
$\theta=Arctanx$ $(-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}, -\infty<x<\infty)$
定義域は実数全体ですが、値域が限られていることに注意してください。
そんな逆正接関数ですが、以下のような和の公式が成り立ちます（wikipedia1にも載っていますがこちらには証明がありません）。初見では場合分けがよくわかりませんね。今回はこれを証明していきましょう（数学科の人間ではないので細かい点に関してはご容赦ください）。
| $Arctanx + Arctany =$ | $Arctan(\dfrac{x+y}{1-xt})$ | $xy<1$ |
|---|---|---|
| $\pi+Arctan(\dfrac{x+y}{1-xt})$ | $xy>1,x>0$ | |
| $-\pi+Arctan(\dfrac{x+y}{1-xt})$ | $xy>1,x<0$ |
証明
$x = tan\alpha,$ $y = tan \beta$ $(-\dfrac{\pi}{2}< \alpha, \beta < \dfrac{\pi}{2})$とおく。
すると、タンジェントの加法定理から
$tan(\alpha + \beta) = \dfrac{tan \alpha + tan \beta}{1 - tan \alpha tan \beta}$
$tan(\alpha + \beta) = \dfrac{x+y}{1-xy}$
となる。このとき、逆正接関数の値域と、$-\pi <\alpha + \beta < \pi$であることに気をつけると、
$Arctanx + Arctany = \alpha + \beta = \begin{cases}
Arctan(\dfrac{x+y}{1-xy}) (-\dfrac{\pi}{2}< \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}), \
\pi + Arctan(\dfrac{x+y}{1-xy}) (\dfrac{\pi}{2}< \alpha + \beta),\
-\pi + Arctan(\dfrac{x+y}{1-xy}) (\alpha + \beta < -\dfrac{\pi}{2})
\end{cases}$
となる。あとは、$\alpha+\beta$が$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$に収まるか否かを判定すれば良い。
[$x>0$のとき]
$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$である。
さらに$y<0$とすると$-\dfrac{\pi}{2} < \beta < 0$より明らかに$-\dfrac{\pi}{2}< \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$となる。
$y>0$のとき、すなわち$0 < \alpha, \beta < \dfrac{\pi}{2}$のときに、$\alpha+\beta>\dfrac{\pi}{2}$となるのは
$\alpha+\beta>\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow
cos(\alpha+\beta)<0 \Leftrightarrow
cos\alpha cos\beta < sin\alpha sin\beta \Leftrightarrow
\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\dfrac{sin\beta}{cos\beta}>1 \Leftrightarrow
tan\alpha tan\beta > 1 \Leftrightarrow
xy>1$
[$x<0$のとき]
$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0$である。$x>0$のときと同様にして$y>0$のときは$-\dfrac{\pi}{2}< \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$が保証される。
$y<0$のときは$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha,\beta < 0$であり、
$\alpha+\beta<-\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow
cos(\alpha+\beta)<0 \Leftrightarrow
cos\alpha cos\beta < sin\alpha sin\beta \Leftrightarrow
\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\dfrac{sin\beta}{cos\beta}>1 \Leftrightarrow
tan\alpha tan\beta > 1 \Leftrightarrow
xy>1$
証明完了。