秋葉原ロボット部の読書会では、「一般相対性理論を一歩一歩 数式理解」を教科書に使って、相対性理論の勉強をしています。
その中で、ローレンツ変換の前後でニュートンの重力方程式$Δφ(x)=4πGρ(x)$が共変性であるか否かを判定しています。
しかし、ローレンツ変換後のニュートン重力方程式が表記されていなかったので、教科書の記述を参考に導出を試みました。
そうしたら導出に時間がかかったので、その作業記録を残しておきます。
第４章第３節「ローレンツ変換とダランベルシアン」では、$x$軸方向のローレンツ変換がダランベルシアンを同じ形に保つことを確認しています。
ローレンツ変換は以下の式に従います。
$ct' = γ(ct - βx)$
$x' = γ(-β(ct) + x)$
$y' = y$
$z' = z$
ここで、
$γ=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} }$
$β=\frac{V}{c}$
とします。これらの変換式より、
$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial t'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial t'}+\frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x'}=-γ\frac{β}{c}\frac{\partial}{\partial t'}+γ\frac{\partial}{\partial x'}$
を導出します。
さらに、他の変換も用いて
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}=(-γ\frac{β}{c}\frac{\partial}{\partial t'}+γ\frac{\partial}{\partial x'})^2$
等を使ってダランベシアンが$x$軸方向のローレンツ変換で共変であると確認します。
その後、重力方程式
$Δφ(x)=4πGρ(x)$
では、$Δ≠Δ'$
を先の導出から類推させます。
ここまではいいのですが、先の導出
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}=(-γ\frac{β}{c}\frac{\partial}{\partial t'}+γ\frac{\partial}{\partial x'})^2$
を使って、ローレンツ変換後のラプラシアンを導出しようとすると、シンプルな表現になりません。
$\frac{\partial^2}{\partial t^2}$や$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x}$の項が残ります。
以下の様に導出すると、ローレンツ変換後のラプラシアンがシンプルな表現になります。
$ct' = γ(ct - βx)$
$x' = γ(-β(ct) + x)$
$y' = y$
$z' = z$
から、
$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x'}+\frac{\partial y'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y'}+\frac{\partial z'}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z'}=γ\frac{\partial}{\partial x'}+0\frac{\partial}{\partial y'}+0\frac{\partial}{\partial z'}=γ\frac{\partial}{\partial x'}$
$\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial y'}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y'}=\frac{\partial}{\partial y'}$
$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial z'}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z'}$
と連鎖律を使って表されますから、
変換後のラプラシアンは、
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}=γ^2\frac{\partial^2}{\partial x'^2}+\frac{\partial^2}{\partial y'^2}+\frac{\partial^2}{\partial z'^2}=\frac{1}{{1-\frac{V^2}{c^2}} }\frac{\partial^2}{\partial x'^2}+\frac{\partial^2}{\partial y'^2}+\frac{\partial^2}{\partial z'^2}$
となり、
$(x', y', z')$座標系のラプラシアン$Δ'$
$Δ'=\frac{\partial^2}{\partial x'^2}+\frac{\partial^2}{\partial y'^2}+\frac{\partial^2}{\partial z'^2}$
とは同じ形になりません。
座標変換した後のラプラシアンを使ってニュートンの重力場方程式を表すと、
$(\frac{1}{{1-\frac{V^2}{c^2}} }\frac{\partial^2}{\partial x'^2}+\frac{\partial^2}{\partial y'^2}+\frac{\partial^2}{\partial z'^2})φ(x')=4πGρ(x')$
となります。
共変ではないことがわかります。
ラプラシアン$Δ$は勾配を計算したものの発散
$Δf(x)=$div grad$f(x)$
なので、座標変換後の重力場の勾配と変換前のものとを比べると、$x$軸方向の勾配のみが変換前の勾配より大きくなっていると想像できます。
ローレンツ変換後も共変となる重力場方程式の勉強会での導出は、1、2年後に達成できそうです。