考察

ごく普通に解けば $x^4$が出てくるので２重根号のはず。だけど選択肢を見るとそうはなっていない。

１題３分縛り、手計算でも大丈夫な計算ステップと思う。

$\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}=10より,x^4-10x^2+1=0$
$\displaystyle X = x^2(X>0)とおくと,X^2-10X+1=0より$
$\displaystyle X= 5\pm\sqrt{25-1} = 5\pm2\sqrt{6}$
$\displaystyle x >1 よりX>1なのでX=5\pm2\sqrt{6}$
$\displaystyle x^2 = 5\pm2\sqrt{6}より$
$\displaystyle x =\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

コードで解決

一旦solveで解をだせるものの２重根号として表現できていない。実務で更に進めるのかは状況によるのだが調べてみるとsqrtdenestメソッドがありこれが２重根号を求めてくれる模様、やってみる。

symbols定義で$,x > 1,$を表現したいが方法わからず。コードの条件設定で選択することにする。ちなみに抽出条件設定しなければ４つの解を出してくれました。

# 変数定義
x = symbols('x', real=True)

# 式定義
f = x**2 + x**(-2) - 10
display(f)

# 解
display(solve(f, x))

# ２重根号を解く
# listで渡せないのでそれぞれ
for answer in solve(f, x):
    # xは >1 の条件あり
    if answer > 1:
        display(sqrtdenest(answer))

ChatGPTで解決

お導きが必要みたいです。。。

$\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}=10 $ を解いてください

$x^2 + \frac{1}{x^2}=10$ を解くには、まず $x^4 + 1 = 10x^2$ に変形します。

左辺を $(x^2)^2 + 1$ と書き換えると、$x^4 + 1 = 10x^2$ は $(x^2)^2 + 1 = 10x^2$ になります。

これは $(x^2 - 10)^2 = 0$ の形になりますので、$x^2 = 10$ の解と $x^2 = -10$ の解があります。

$x^2 = 10$ の解は $x = \sqrt{10}$ と $x = -\sqrt{10}$、$x^2 = -10$ の解は $x$は実数ではない解があります。

したがって、解は $x = \sqrt{10}$ と $x = -\sqrt{10}$です。

ちがいますね

申し訳ありません、$x^2 + \frac{1}{x^2}=10$ の解は $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$ の第一次不定方程式です。解き方としては、$x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0$ の形に変形し、それぞれ解を $x^2 = 1$ と $x^2 = 9$ となります。従って、解は $x = \sqrt{1} = 1$ と $x = -\sqrt{1} = -1$、$x = \sqrt{9} = 3$ と $x = -\sqrt{9} = -3$です。

$x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0$
ここ、違いますね

申し訳ございません、$x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0$ は正しくないです。
正しくは、$x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0$ ではなく、$x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x^2-1)(x-3)(x+3) = 0$です。
それで、$x^2=1$, $x=3$, $x=-3$ の3つの解があります。
$x^2=1$ の解は $x=\sqrt{1}=1$ and $x=-\sqrt{1}=-1$。
$x=3$ and $x=-3$ はそのまま解です。

ご迷惑をおかけし申し訳ございません。

これも違いますよね
$x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x^2-1)(x-3)(x+3) = 0$

申し訳ございません、それは正しくない結果を提供しました。
正しくは、$x^4 - 10x^2 + 1 = 0$の解について、これは4次方程式なので、一般的に4つの解を持ちます。
解き方としては、一般的な方法は通分（分母を同じにする）することで、$x^4 - 10x^2 + 1 = 0$を$(x^2)^2 -10x^2+1=0$に変形し、$(x^2-1)(x^2-10)=0$とすることで、$x^2 =1$または$x^2=10$の解を得ることができます。
$x^2 =1$ の解は $x=\sqrt{1}=1$ and $x=-\sqrt{1}=-1$。
$x^2 =10$ の解は $x=\sqrt{10}$ and $x=-\sqrt{10}$

ご迷惑をおかけし申し訳ございません。

違いますね
こうなりませんか？

$x^2= 5\pm\sqrt{25-1} = 5\pm2\sqrt{6}$

申し訳ありません、ご指摘の通りです。
$x^4 - 10x^2 + 1 = 0$ は $(x^2)^2-10x^2+1=0$ と変形し、$(x^2-5)^2 = (x^2-5+\sqrt{25-1})(x^2-5-\sqrt{25-1}) = 0$ になります。これは $(x^2-5+\sqrt{24})(x^2-5-\sqrt{24}) = 0$。
従って、解は $x^2 = 5 + \sqrt{24}$ and $x^2 = 5 - \sqrt{24}$
$x^2 = 5 + \sqrt{24}$ の解は $x=\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ and $x=-\sqrt{5 + \sqrt{24}}$
$x^2 = 5 - \sqrt{24}$ の解は $x=\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ and $x=-\sqrt{5 - \sqrt{24}}$

再度ご迷惑をおかけし申し訳ございません。

答えは良さそうです。２重根号を簡単にできますか？

$\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ and $\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ のような2重根号の解を簡単にするために、一般的には括弧を使って書き直すことができます。
$\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{5} + \sqrt{\sqrt{24}} = \sqrt{5} + \sqrt{2\sqrt{6}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{6}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}(\sqrt{\sqrt{6}}) = \sqrt{5} + \sqrt{2}(\sqrt{6})^{\frac{1}{4}}$
$\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{5} - \sqrt{\sqrt{24}} = \sqrt{5} - \sqrt{2\sqrt{6}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}\sqrt{\sqrt{6}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}(\sqrt{\sqrt{6}}) = \sqrt{5} - \sqrt{2}(\sqrt{6})^{\frac{1}{4}}$

これにより、解は、$\sqrt{5} + \sqrt{2}(\sqrt{6})^{\frac{1}{4}}$ and $\sqrt{5} - \sqrt{2}(\sqrt{6})^{\frac{1}{4}}$になります。ただし、これらの解は数学的には同値ですが、実際に使用する場合によっては異なる結果を生み出す可能性があるため、使用する前に計算結果を確認することをお勧めします。

$\sqrt{2}と\sqrt{3}$ を使って２重根号を簡単にできませんか？

$\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ and $\sqrt{5 - \sqrt{24}}$ のような2重根号を、$\ sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ を使って簡単にすることはできません。
$\sqrt{24}$は $\sqrt{2^3 \times 3}$ の結果ですが、$\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ のような形には書き直せないので、$\sqrt{5} + \sqrt{2}(\sqrt{6})^{\frac{1}{4}}$ and $\sqrt{5} - \sqrt{2}(\sqrt{6})^{\frac{1}{4}}$ のような形に簡単にすることはできません。
括弧を使って書き直した結果が最も簡単になります。

$x =\sqrt{5+2\sqrt{6}}=(\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|$
になる気がしますがどうでしょうか

申し訳ございません、ご指摘の通りです。
$x^2 = 5 + 2\sqrt{6}$ の解は、$x =\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ と $x=-\sqrt{5+2\sqrt{6}}=-\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=-\sqrt{3}-\sqrt{2}$ の二つが存在します。
それで、解は $x =\sqrt{3}+\sqrt{2}$ and $x=-\sqrt{3}-\sqrt{2}$です。
再度ご迷惑をおかけし申し訳ございません。

いい感じの解答だと思います。ありがとうございます。

どういたしまして、お手伝いできてうれしいです。もし何か質問があれば、お気軽にどうぞ。