アカウントが設定されているかは「SLComposeViewController」を使用します。

Twitterアカウント確認

if ([SLComposeViewController isAvailableForServiceType:SLServiceTypeTwitter] == NO) {
	//アカウントが設定されていないとき
}

UIActivityViewControllerにTwitterアイコンを表示するにはUIActivityを継承したクラスを自前で作成する必要があります。
ここでは仮に、 TWActivity とします。

UIActivityViewControllerに自前UIActivityを追加

NSArray *activityItems = @[tweetString,url];
NSMutableArray* activities = [NSMutableArray new];
if ([SLComposeViewController isAvailableForServiceType:SLServiceTypeTwitter] == NO) {
	//アカウントが設定されていないとき
	TWActivity *twitterActivity  = [[TWActivity alloc] init];
    [activities addObject:twitterActivity];
}

self.activityController = [[UIActivityViewController alloc] initWithActivityItems:activityItems
                                                                applicationActivities:activities];

TWActivity

# import "TWActivity.h"

@interface TWActivity ()
@end
@implementation TWActivity

+ (UIActivityCategory)activityCategory
{
    return UIActivityCategoryShare;
}

- (NSString *)activityType
{
    return NSStringFromClass([self class]);
}

- (NSString *)activityTitle
{
    return @"Twitter";
}

- (UIImage *)activityImage
{
    return [UIImage imageNamed:@"twitter_icon"];
}

- (BOOL)canPerformWithActivityItems:(NSArray *)activityItems
{
    for (id activityItem in activityItems) {
        if ([activityItem isKindOfClass:[NSURL class]] && [[UIApplication sharedApplication] canOpenURL:activityItem]) {
            return YES;
        }
    }
    
    return NO;
}

- (void)prepareWithActivityItems:(NSArray *)activityItems
{
}

- (void)performActivity
{    

}

同様の方法でFacebook等も可能です。