ガロア理論の本を読むと、余りの数で分類したグループを
「剰余類」と呼んでいる。たとえば１００を５で割ると、余りが
１，２，３，４，０（５で割り切れる）の５つのグループに分かれる。
今回は、この「剰余類」を取りあげ、「群論」の話に触れる。
●１．素数は貴重！素数２，３，５だけ取り上げる話をする。
６を因数分解すると、
1, 2, 3, 4, 6
が因子になる。この中で、６と最小公倍数が同じもの、つまり
２と３と６を除くと、１と５だけが残る。この１と５を「既約剰余類」と呼ぶ。
つまり、「素数」と１だけ残る。（１は約数が１つなので、素数ではない。）
それに対して、５を因数分解すると、
1, 5
になる。「素数」と１だけになる。なぜかというと、５が「素数」だからだ！
素数のすごさが分かる。
●２．既約剰余類
この商の６や５をｎと置く。
ｎと互いに素であるものを選び、群にする
（Ｚ／ｎＺ）＊
この＊は、因数が入ってないことを意味する。
ｎに６を入れると、１と６だけ（「既約剰余類」だけ）選んでくれる。
（２，３，４は＊マークが、省いてくれる。）
剰余類には、割り切れる、つまり余り０のグループがある。しかし、０のグループは
省きたいので、以下の表現をする。
Ｚ/5Z-{0}
「演算表」に、＋に関して、または×に関してを左上に表記する。
「演算表」で、行（縦）と列（横）の交差するところに、１で割り切れるグループを探す。この行と列のお互いを、「逆行列」の関係という。例えば、５で割った余りが２のグループは、余りが４のグループの逆元である。
●３ 互いに素
kx+ny=1
の例題を説く。高校の数学Ｂの問題。
この問題は、「剰余類」の「逆元」と関連する良問である。解き方は割愛する。
●４ （Ｚ／ｎＺ）＊ は巡回群である。
巡回群は、ｎが素数だとありがたい。
(Z/pz)は、位数p-1の巡回群に同型である。
(Z/pZ) と Z/(p-1)Z は同型である。
この同型を探す数学が、「群論」である。
たとえば、カレンダーは７日すると、また日曜日になります。
この「同型」は、３６５を７で割った余りのグループ（これが曜日になっている）
ですね。一見違うものをじっくりみて、同じ性質を探すのが、群論です。
その手掛かりが、ｎで割った余りのグループに着目して、そのｎが素数だといろいろありがたいことが起きるのです！
参考文献）
「ガロア理論の頂を踏む」
石井敏全 著 ベレ出版
Ｐ．３３からＰ．８６