この記事について
「統計学入門」第6章を読んでいてまとめが欲しくなったので自分で作ることにしました。
間違っている箇所があればコメントをお願いします。
おもな離散型の確率分布
超幾何分布
2種類A,BからなるN個の物があって、それぞれM個、N-M個あるとする。この集団からn個取り出したときに、Aがx個、Bがn-x個であるとすると、確率分布
f(x) = \frac{_MC_x ・ _{N-M}C_{n-x}}{_NC_n}\\
x \in \{Max(0, n-(N-M)), \cdots, Min(n, M)\}
を超幾何分布と言う。
その期待値、分散は
E(X) = \frac{nM}{N}\\
V(X) = \frac{nM(N-M)}{N^2} ・ \frac{N-n}{N-1}
である。
二項分布
2種類の可能な結果A, Bを生じる実験があり、それらの確率をそれぞれp, 1-pとすると、Aがx回、Bがn-x回生じるとすると、確率分布
f(x) = {_nC_x}p^x(1-p)^{n-x} \quad (x \in \mathbb{N})
を二項分布といい、Bi(n, p)で表す。
その期待値、分散は
E(X) = np\\
V(X) = np(1-p)
である。
ポアソン分布
二項分布において、nが大かつpが小である場合を考える。
ポアソンの小数の法則(Poisson's law of small numbers)
np \rightarrow \lambda, n \rightarrow \infty, p \rightarrow 0\\
を満たす極限では\\
\forall x \in \mathbb{N}, {_nC_x}p^x(1-p)^{n-x} \rightarrow \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\
上の法則をもとにして、
f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\
(\lambda>0, x \in \mathbb{N})
をポアソン分布といい、P0(λ)で表す。
その期待値と分散は
E(X) = \lambda\\
V(X) = \lambda
である。
幾何分布
二項分布において、最初にAが出現するまでの試行回数をxとすれば、q=1-pとして以下の確率分布が得られる。
f(x) = pq^{x-1}\\
x \in \{1, 2, 3, \cdots \}
これを幾何分布という。
その期待値と分散は
E(X) = \frac{1}{p}\\
V(X) = \frac{q}{p^2}
である。
一様分布
さいころを振ったときに出る目Xの確率分布
f(x) = \frac{1}{N}\\
x \in \{1, 2, \cdots, N\}
を1, 2, ..., N上の離散一様分布という。
その期待値と分散は
E(X) = \frac{N+1}{2}\\
V(X) = \frac{N^2-1}{12}
である。