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情報システムの構成とリスクの関係

Last updated at 2020-01-29Posted at 2020-01-29

これまでとは趣向を変えて、（10年前に捻りだした）ネタ投下します。全く役に立たない、浮世離れした話ですので、一見真面目そうに見えても、内容の妥当性などは何ら保証はないです。

【広げた風呂敷】

情報システムの構築・運用計画を立てる際、セキュリティ投資を抑えられるようにシステム構成を計画すための知見が必要である。そこで、ＩＴシステム構築の際しての、ネットワーク構成と扱い情報量とリスクの関係を数学的に評価した。

扱い情報量１のシステムＮ個ごとに、扱い情報量Ｍの上位システムで統合する樹形構造を重ねたシステムを構成した場合、扱い全情報量Iとシステム全リスクRとの関係は、

R∝I^(log(N+M^2)/log(N))

となる。

【検討（見当）】

　ＩＴシステムのリスクは、情報が集中し、そこでは自由流通する「ノード」が持つ情報量の二乗に比例する。単一のノードを図形的に正三角形で表すと、正三角形の面積でリスクを表すことができる。

　ＩＴシステムを拡大する際、システム内での情報は自由にやりとりされるフラットで均一な構成形態で拡大すると、ノードの大きさ（＝図形の長さ）は扱い情報量に比例して大きくなる。リスクは大きくなった三角形の面積で表される。（図１）

　システム拡大の際、扱い情報を外部と入出力する最小のノードを並列に配置し、ノード間の情報を取り扱う上位ノードを、２最小ノード毎に１最小ノード配置する方法を考える。外部との入出力する情報量が最小ノードの２倍になって、上位ノードを１つ配置した状況は、図に示すように３つの最小ノードの三角形の配置で表すことができる。外部との入出力情報量は２倍になっているが、リスクは３倍になっている。（図２）

　さらにシステム拡大するにあたって、既存システムと同等のシステムを並列に並べ、２システム毎に、先のシステムと同構成のシステムを上位システムとして配置する方法を考える。図３には、４ノード構成のシステムから、外部との入出力情報量を２倍する場合のシステム配置を示している。４ノード構成のシステムが並列に並び、そして上位システムとしてもう１つ４ノード構成のシステムが積み上げられている。この場合も、外部との入出力情報量は２倍になっているが、リスクは３倍になっている。元の最小ノードの場合から見ると、外部との入出力情報量は４倍になっているが、リスクは９倍である。（図３）

　従って、このような２システム並列の度に同等の上位システム１つを配置するやり方でシステムを拡大させる場合、外部との入出力情報量Iと、リスクの大きさRの関係は、

R∝I^(log(3)/log(2))≒I^1.5850

となる。図形的には、システム構造はシェルピンスキーの三角形に相当し、log(3)/log(2)≒1.5850は、シェルピンスキーの三角形のハウスドルフ次元に当たる。

２システム並列に等価な１上位システムの構成では、上記のようになるが、３システム並列に等価な１上位システムの構成をとった場合は次のように考えらえられる。最小ノードの、図式的形状として正四面体を採用する。並列３システムとして、平面に３角形上に正四面体構造のシステムを並べた上に、同じ正四面体構造のシステムを積み重ねることで、大きな正四面体構造のシステムができる。これはシェルピンスキーの正四面体の構造を形成する。（図４）

　外部との入出力情報量が３倍、図形的には平面に並べられた３個分になった時、リスクは上位システムの分を併せてシステム４つ分（の代表面積）、すなわち４倍になる。外部との入出力情報量Iと、リスクの大きさRの関係は、

R∝I^(log(4)/log(3))≒I^1.262

となる。このべきの値は、シェルピンスキーの正四面体のハウスドルフ次元と、シェルピンスキーの三角形のハウスドルフ次元との比に等しい。

　この考え方をさらに拡張して、Ｎシステム並列に等価な１上位システムの構成をとった場合は次のように考えらえられる。最小ノードの図式的形状として、Ｎ次元正Ｎ＋１胞体を採用する。並列Ｎシステムとして、Ｎ－１次元的に正Ｎ＋１胞体のシステムをＮ個並べ、Ｎ次元方向に、同じ正Ｎ＋１胞体構造のシステムを積み重ねることで、大きな正Ｎ＋１胞体構造のシステムができる。これはシェルピンスキーの正Ｎ＋１胞体の構造を形成する。

　外部との入出力情報量がＮ倍、図形的にはＮ－１次元的に並べられたＮ個分になった時、リスクは上位システムの分を併せてシステムＮ＋１個分、すなわちＮ＋１倍になる。外部との入出力情報量Iと、リスクの大きさRの関係は、

R∝I^(log(N+1)/log(N))

となる。Nが大きくなるに従い1に近づく。すなわち、極めて数多くの端末（枝）を一つのシステムで統合（幹）するような樹形構造でシステムを拡張できる場合、リスクと扱い情報量の関係は比例に近づく。

　ここまでは、上位システムは、下位単位システムと同等のものを配置する構成について検討してきたが、次に上位システムの大きさを下位システムと異なる大きさにする場合について検討する。つまり、Ｎシステム並列した時に、上位システムとして、下位システムのＭ倍の情報扱い量を持つノードを再帰的に配置するより一般的な場合について考える。この場合は、もはや図形を描くことはできないが、フラクタルのハウスドルフ次元を考えることによって、システム全体の外部との情報入出力量とリスクの大きさの関係は導ける。

　扱い情報量がＮ倍になった時、下位システムＮ個と、上位システム１個で拡大されたシステムが構築できる。扱い情報量IはＮ倍になったこのシステムでの全リスクRは、元のＮ＋Ｍ倍になっている。従って、外部との入出力情報量Iと、リスクの大きさRの関係は、

R∝I^(log(N+M^2)/log(N))

となる。Mが小さいほどべきの値は1に近づく。またMがNに近づくとべきの値は２に、すなわちフラットで均一なシステムに近づく。
　この式から、上位に配置するシステムの扱い情報量が、下位システムに比べて小さいほど、すなわち上位システムが扱う情報は下位システムから精査抽出されて少なく抑えられている場合には、リスクと扱い情報量の関係は比例に近づく。

【まとめ】

R∝I^(log(N+M^2)/log(N))

となる。

情報システムの構成とリスクの関係

【広げた風呂敷】

【検討（見当）】

【まとめ】

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