TL;DR
numpy.matrixは非推奨。numpy.ndarrayと@演算子を使いましょう。
はじめに
少し前に「大名行列を特異値分解してみる」という記事を書いたところ、元同僚さんから「numpy.matrixはdeprecatedですよ」と言われて驚きました1。
調べたらStackOverflowにやたら詳しい解説が載っていたので、それをもとに説明してみようと思います。
特異値分解とmatrixクラス
線形代数に特異値分解(Singular Value Decomposition, SVD)という処理があります。m行n列の行列Xを、m行m列のユニタリ行列U、m行n列の対角行列S、n行n列のユニタリ行列Vの積に分けるというものです。なんか適当な行列を作ってみましょう。
import numpy as np
from scipy import linalg
X = (np.arange(6)+1).reshape(2,3)
これで、Xは以下のような2行3列の行列になります。
[[1 2 3]
[4 5 6]]
これをSVDしてみましょう。
U, s, V = linalg.svd(X)
linalg.svdは特異値分解に対応して3つのndarrayを返してくれます。Uはm行n列、Vはn行n列のユニタリ行列です。真ん中の行列はm行n列の対角行列ですが、対角要素しかないので1次元配列になっています。
print(s) # => [9.508032 0.77286964]
さて、特異値分解は、U, S, Vの順番に行列積をとれば元の行列に戻ります。しかし、中央の対角行列が一次元配列になっているため、それを一度行列の形に直してやる必要があります。そのためにlinalg.diagsvdという関数があります。
S = linalg.diagsvd(s, X.shape[0], X.shape[1])
これでSは2行3列の対角行列になります。
print(S)
# =>
# [[9.508032 0. 0. ]
# [0. 0.77286964 0. ]]
あとは三つの行列積を取れば元の行列に戻るのですが、numpy.ndarrayの積*は要素ごとの積になってしまいます。足を潰す計算である行列積のためにはnumpy.ndarray.dotを使う必要があります。
print(U.dot(S.dot(V)))
# =>
# [[1. 2. 3.]
# [4. 5. 6.]]
ちゃんと元に戻りましたが、いちいちU.dot(S.dot(V))みたいなメソッド呼び出しではなく、*みたいなinfixな演算子を使いたいですね。そのためにnumpy.matrixが用意されました。先ほどの対角行列Sを、ndarrayからmatrixにしてみましょう。
Z = np.matrix(S)
Sはnumpy.ndarrayですが、Zはnumpy.matrixになります。
type(S) # => numpy.ndarray
type(Z) # => numpy.matrix
numpy.matrixは、infixな演算子として*を使うと行列積になります。また、numpy.ndarrayとnumpy.matrixの積も行列積にしてくれます。ここからU * Z * Vみたいに書くことができます。
print(U * Z * V)
# =>
# [[1. 2. 3.]
# [4. 5. 6.]]
便利ですね。
matrixの問題点
このようにmatrixは便利だったのでわりと使われていたのですが、いくつか問題点がありました。特に、ndarrayと混ぜて使うと非直観的な振る舞いをする場合があります。先のSOに出ていた例を挙げましょう。
適当なndarray行列arrを用意して、それをmatrixにしたmatも作りましょう。
arr = np.zeros((3,4))
mat = np.matrix(arr)
arrもmatも3行4列の行列を表現しています。
まず、二つを足してみましょう。
(arr+mat).shape # => (3, 4)
同じ形の行列を足しているのだから問題ないですね。次はスライスしてみましょう。それぞれの1行目だけを足してみます。3行4列の1行目だけを足したのだから、1行4列の行列になって欲しいところです。
(arr[0,:] + mat[0,:]).shape # => (1, 4)
これも問題ありませんね。
では、行ではなく列の足し算をしてみましょう。それぞれの1列目を足してみます。3行1列になることが期待されます。
(arr[:,0] + mat[:,0]).shape # => (3, 3)
3行3列になってしまいました。何が起きたのでしょうか？
これは、arr[:.0]の形が(3,)であるのに対し、mat[:,0]の形が(3,1)になったため、Broadcasting Rulesが適用されたためです。
実際に(3,1)の行列と(3,)の行列を作って足してみましょう。
x = np.ones(3)
y = np.arange(3).reshape(3,1)
x.shape # => (3,)
y.shape # => (3, 1)
先ほどと同じ状況になりました。足してみましょう。
(x+y).shape # => (3, 3)
(3, 3)になっていますね。ちなみに値はこんな感じになります。
print(x)
# =>
# [1. 1. 1.]
print(y)
# =>
#[[0]
# [1]
# [2]]
print(x+y)
# =>
#[[1. 1. 1.]
# [2. 2. 2.]
# [3. 3. 3.]]
また、matrixの*は行列積ですが、/は要素ごとの除算になります。
a = np.matrix([[2,4],[6,8]])
b = np.matrix(([2,2],[2,2]])
print(a)
# =>
# [[2 4]
# [6 8]]
print(b)
# =>
# [[2 2]
# [2 2]]
print(a*b)
# =>
# [[12 12]
# [28 28]] ←これはわかる
print(a/b)
# =>
# [[1. 2.]
# [3. 4.]] ← ！！！
これも非直観的ですね。
@演算子の導入
さて、我々がmatrixを使いたかった理由はndarrayの行列積がメソッドで使いづらく、行列積をA * Bのように中置記法で書きたかったからでした。しかし、Python 3.5から、ndarrayの行列積を表すinfixな演算子@が導入されました(PEP 465)。これで、特異値分解と、元に戻す処理は以下のように書けます。
import numpy as np
from scipy import linalg
X = (np.arange(6)+1).reshape(2,3)
print(X)
# =>
# [[1 2 3]
# [4 5 6]]
U, s, V = linalg.svd(X)
S = linalg.diagsvd(s, X.shape[0], X.shape[1])
print(U @ S @ V)
# =>
# [[1. 2. 3.]
# [4. 5. 6.]]
楽ちんぽいですね。m行n列で$m<n$の場合は$V$の要素を全ては使わないので、linalg.diagsvdではなく、np.diagを使って以下のようにも書けます。
U, s, V = linalg.svd(X)
S = np.diag(s)
print(U @ S @ V[:2,:])
特異値分解をして、ランクrの低ランク近似をする場合も、以下のようにnp.diagで書けます。以下は200行50列の行列を特異値分解して低ランク近似するサンプルです。まず、200行50列の行列Xを作りましょう。
m = 200
n = 50
X = np.arange(m*n).reshape(m,n)
print(X)
Xはこんな行列です。
[[ 0 1 2 ... 47 48 49]
[ 50 51 52 ... 97 98 99]
[ 100 101 102 ... 147 148 149]
...
[9850 9851 9852 ... 9897 9898 9899]
[9900 9901 9902 ... 9947 9948 9949]
[9950 9951 9952 ... 9997 9998 9999]]
これをランクr=10で近似するには以下のようにします。
U, s, V = linalg.svd(X)
S = np.diag(s)
r = 10
Ur = U[:, :r]
Sr = S[:r, :r]
Vr = V[:r, :]
Y = Ur @ Sr @ Vr
print(np.array(Y, np.int))
Yは実数ですが、整数化してやるとこんな感じです。
[[ 0 0 1 ... 46 47 48]
[ 50 50 51 ... 97 98 98]
[ 100 101 102 ... 146 147 149]
...
[9850 9851 9851 ... 9897 9897 9899]
[9900 9901 9901 ... 9947 9947 9949]
[9950 9951 9952 ... 9996 9998 9999]]
わりといい感じですね。
まとめ
numpy.ndarrayの中置記法による行列積を表す@演算子の導入により、numpy.matrixを使う最大のメリットは消えました。これからはnumpy.ndarrayと@を使うようにしましょう。
-
現在は
matrixを使わない形に修正してありますが、初出時は使っていました。 ↩