解析力学と対称性
粒子のLagrangian
配位空間Mのベクトル束TM上の実数値関数$\mathcal{L} $で次の方程式を満たすもをLagrangianという.
配位空間の局所座標$q={q^i}$から自然に導かれるTMの局所座標$(q,v)={q^i,v^i}$
運動の軌跡$\gamma:\mathbb{R}\rightarrow M$に対する$\tilde{\gamma}$
$$\tilde{\gamma}:\mathbb{R}\rightarrow TM $$
$$\tilde{\gamma}(t)=(\gamma(t),\frac{d\gamma(t)}{dt})$$
に対してEuler Lagrange方程式
\frac{d}{dt} [\frac{\partial}{\partial v^i}\mathcal{L}(q,v) ]\circ\tilde{\gamma} =[\frac{\partial}{\partial q^i} \mathcal{L}(q,v)]\circ\tilde{\gamma}
が成り立つ。
Lagrangianの対称性
配位空間の座標変換$\mathfrak{F}:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^m $から誘導されるTM上の変換
\mathfrak{F}_*:TM\rightarrow TM
\mathfrak{F}_*(q^i,v^i) = (\mathfrak{F}(q),\mathfrak{F}_q'(v^i))
に対してLagrangianの変換を
\mathcal{L}(q,v)\rightarrow \mathcal{L}(\mathfrak{F}_*(q^i,v^i) )
で定義し$\mathcal{L}(\mathfrak{F}_*(q^i,v^i) )=\mathcal{L}(q^i,v^i)$が成り立つときLagrangianは変換$\mathcal{F}$に対して不変,ラグランジュ系(M,$\mathcal{L}$)は$\mathcal{F}$対称性を持つという.
Neotherの定理
sに関して連続な変換
\mathcal{F}_s : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m ; \mathcal{F}_0=id_M
ラグランジュ系(M,$\mathcal{L}$)が$\mathcal{F}$対称性を持つとき$t$によらず一定となる保存量$Q:TM \rightarrow \mathbb{R} $が存在して
Q=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v^i}\frac{\partial\mathcal{F}_s}{\partial s} |_{s=0}
具体例
1)空間並進対称性と運動量
2)空間回転対称性と角運動量
3)時間並進対称性とエネルギー
量子力学と対称性
Hamiltonianと交換する演算子P,Qで$[P,Q]\neq 0$なるものが存在するならば
系のエネルギーは縮退する.
Proof
$H,P$の同時固有状態の完全系${|E_n,p_n\rangle }$が存在して
H |E_n,p_n\rangle = E_n|E_n,p_n\rangle
P |E_n,p_n\rangle = P_n |E_n,p_n\rangle
$[P,Q]\neq 0$より少なくとも一個ある$n=i$が存在して$Q|E_i,p_i\rangle \neq c |E_i,p_i\rangle$
このとき
HQ|E_i,p_i\rangle=E_i Q |E_i,p_i\rangle
より$|E_i,p_i\rangle$と$Q|E_i,p_i\rangle$は縮退している.$\blacksquare$
Lorentz対称性
場の変換
座標変換$\mathfrak{F} : x_\mu \mapsto x_\mu'= \mathfrak{F}({x_\mu})$
に対してベクトル空間Vをファイバーにもつベクトル束の切断(場)$\varphi_i(x)\in\Gamma(M\times V)$
の変換を考える。
変換群の表現空間V上の表現$D(\mathcal{F})$として
変換$\mathcal{F}$に対する場$\varphi_i(x)$の変換を
\mathfrak{F} : \varphi_i(x) \mapsto \varphi'_i(x)= D(\mathcal{F}) \varphi_i( \mathfrak{F}^{-1}(x))
で定義する.
Lorentz群の表現
Lorentz群の表現はスピンjによる既約表現に分解できる。
スピン０をスカラー場、スピン$\frac{1}{2}$をスピノル場、スピン１をベクトル場という。
超対称性
超対称代数
Colman-Mandulaの定理
(1)4次元時空の相対論的な局所場の理論
(2)質量の決まった一粒子状態を付随する有限個の異なる粒子からなる
(3)真空で一粒子状態の間にエネルギーギャップが存在する
これらを満たすS行列の持ちうる対称性はPoincare群と内部対称性の直積に限られる。
回避する方法
負ノルム状態$\rightarrow$BRS対称性
質量０の粒子のみ$\rightarrow$共形代数
超代数$\rightarrow$超対称性
交換関係だけでなく反交換関係も取り入れた超代数を許すと超対称代数が導かれる。
超対称変換
超空間
2成分定数スピノル(Grassmann数)$\theta_\alpha$,$\bar{\theta}_ {\dot{\alpha}}$
\{\theta_\alpha,\theta_\beta\}= \{\theta_\alpha,\bar{\theta}_{\dot{\beta}}\}=\{\bar{\theta}_{\dot{\alpha}},\bar{\theta}_{\dot{\beta}}\}=0
超空間の座標$(x^\mu,\theta_\alpha,\bar{\theta}_ {\dot{\alpha}})$
\theta\theta=\theta^\alpha\theta_\alpha=-2\theta^1\theta^2=2\theta_1\theta_2=-2\theta_2\theta_1
このとき超対称代数を満たす超電荷Qは
Q_\alpha = -i \frac{\partial}{\partial \theta^\alpha} - \sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}} \bar{\theta}^{\dot{\alpha}} \partial_\mu
\bar{Q}_{\dot{\alpha}} = i \frac{\partial}{\partial \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}} + \theta^\alpha \sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}} \partial_\mu.
を考えられる。
超空間上のねじれた平行移動として超対称変換
x^\mu \rightarrow x'^\mu=x^\mu -i\bar{\varepsilon} \sigma^\mu \bar{\theta} +i\theta \sigma^\mu \bar{\varepsilon}
\theta^\alpha \rightarrow \theta'^\alpha=\theta^\alpha+\varepsilon^\alpha
\bar{\theta}^{\dot{\alpha}} \rightarrow \bar{\theta}'^{\dot{\alpha}}=\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}+\bar{\varepsilon}^{\dot{\alpha}}
を定義する。
超場形式
BosonとFermionをひとまとめに扱う場として超場形式を考える。
スカラー超場Y
Y(x,\theta,\bar{\theta})=\phi(x)+\theta\psi(x)+ \bar{\theta}\bar{\chi(x)} + \theta\theta m(x) + \bar{\theta}\bar{\theta} n(x) \\
+\theta\sigma^\mu\bar{\theta}v_\mu(x) + \theta\theta\bar{\theta}\bar{\lambda}(x) + \bar{\theta}\bar{\theta}\theta\rho(x)+\theta\theta\bar{\theta}\bar{\theta}d(x)
このとき 超対称代数$Q,\bar{Q}$はスカラー超場の超対称変換を生成する
\delta_{\varepsilon,\bar{\varepsilon}} Y=(i\varepsilon Q+i\bar{\varepsilon}\bar{Q})Y(x,\theta,\bar{\theta})
共変微分$D_{\alpha},\bar{D}_ {\dot{\alpha}}$を
D_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial \theta^\alpha} +i \sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}} \bar{\theta}^{\dot{\alpha}} \partial_\mu
\bar{D}_{\dot{\alpha}}=\frac{\partial}{\partial \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}} +i \theta^\alpha \sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}} \partial_\mu
とすると$D_{\alpha},\bar{D}_ {\dot{\alpha}}$は超電荷$Q_{\alpha},\bar{Q}_ {\dot{\alpha}}$と反交換し
\{D_{\alpha},\bar{D}_{\dot{\alpha}}\}=2i \sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}} \partial_\mu
\delta_{\varepsilon,\bar{\varepsilon}} (D_{\alpha}Y)=D_{\alpha}(\delta_{\varepsilon,\bar{\varepsilon}}Y)
Chiral超場
Chiral超場(右巻きChiral超場)$\Phi(x,\theta,\bar{\theta})$
\bar{D}_{\dot{\alpha}}\Phi=0
反Chiral超場(左巻きChiral超場)
D_{\alpha}\Phi^\dagger=0
y^\mu=x^\mu+i\theta\sigma^\mu\bar{\theta}
y^\mu{^\dagger}=x^\mu-i\theta\sigma^\mu\bar{\theta}
と置くと
D_{\alpha}\bar{\theta} = \bar{D}_{\dot{\alpha}}\theta=D_{\alpha}y^\mu{^\dagger} = \bar{D}_{\dot{\alpha}}y^\mu=0
よりChiral超場は$y,\theta$のみで書け、
\Phi(y,\theta)=\phi(y)+\sqrt{2}\theta\psi(y)-\theta\theta F(y)
=\phi(x)+\sqrt{2}\theta\psi(x)+i\theta\sigma^\mu\bar{\theta}\partial_\mu \phi(x)-\theta\theta F(x)-\frac{i}{\sqrt{2}}\theta\theta\partial_\mu\psi(x)\sigma^\mu\bar{\theta} - \theta \frac{1}{4}\theta\theta\bar{\theta}\bar{\theta}\partial^2 \phi(x)
となる。
変数を$y,\theta,\bar{\theta}$にしたとき超電荷は
Q_{\alpha}=-i\frac{\partial}{\partial \theta^\alpha}
\bar{Q}_{\dot{\alpha}}=i\frac{\partial}{\partial \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}}+2\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot{\alpha}}\frac{\partial}{\partial y^\mu}
Chiral超場の超対称変換は
\delta\Phi(y,\theta)=\sqrt{2}\varepsilon\psi + \sqrt{2}\theta(-\sqrt{2}\varepsilon F+\sqrt{2}i\sigma^\mu\bar{\varepsilon}\partial_\mu \phi)-\theta\theta(-i\sqrt{2}\bar{\varepsilon}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi)
\delta \phi=\sqrt{2}\varepsilon\psi
\delta\psi = \sqrt{2}i\partial_\mu \phi \sigma^\mu\bar{\varepsilon}-\sqrt{2}F \varepsilon
\delta F= \sqrt{2}i\partial_\mu\psi\sigma^\mu\bar{\varepsilon}
$F$の変分が全微分項なので
超対称変換で不変な作用を作るにはChiral超場の$\theta\theta$の成分$F$の空間積分
\int d^4x F = \int d^4x\int d^2\theta\Phi
を採用するのが最も簡単。
Chiral超場の積もChiral超場だから
Chiral超場$\Phi$の正則関数$W(\Phi)$の$\theta\theta$成分
S = \int d^4x \int d^2\theta W(\Phi)+\int d^4x \int d^2\bar{\theta} \bar{W}(\bar{\Phi})
を考えればよい。$W(\Phi)$を超ポテンシャルという。
一般のスカラー超場に関しては$\theta\theta\bar{\theta}\bar{\theta}$の成分場の変分も全微分項になるのでLagrangianは
\mathcal{L}=\int d^4\theta K(\Phi^i,{\Phi}^j {}^\dagger)+ \int d^2\theta W(\Phi)+\int d^2\bar{\theta} \bar{W\Phi}
と書ける。$K$をケーラーポテンシャルという。
ex)$K=\bar{\Phi}\Phi$のとき
\int d^4\theta K(\Phi^i,\bar{\Phi}^j)=\frac{1}{4}\partial^2\bar{\phi}\phi+\frac{1}{4}\bar{\phi}\partial^2\phi + \bar{F}F
-\frac{1}{2}\partial^\mu\bar{\phi}\partial_\mu\phi+\frac{i}{2}\partial_\mu\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\psi-\frac{i}{2}\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi
となり運動項を含む。