メモ用
間違っていたらすみません。
不変推定量と一致推定量
不偏推定量：母平均μに等しくなるとき
一致推定量：サンプル数nが大きくなると母平均に近づく。
変動係数
$CV = \frac{σ}{μ}$
正規分布
確率変数Xと確率変数Y
それぞれの平均と分散が同じなら、同じ分布になる。
連続一様分布
U(-1,1)に従うとき、U(a, b)とすると、
$f(x) = \displaystyle\frac{1}{b-a}$
$μ = E[X] = \displaystyle\frac{a+b}{2}$
$σ^2 = V[X]= \displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}$
仮説検定t
$t = 1.81$のとき、$v=23$の場合
有意水準5%の片側検定における棄却域は、
$t(0.05)(23)=1.714$ ... ①
有意水準2.5%の片側検定における棄却域は、
$t(0.25)(23)=2.069$ ... ②
①のときは、1.81を棄却できるが、②の時は1.81を棄却できない。
カイ2乗
棄却について
$χ^2$の統計量が2.6とする。
自由度5で$χ^2$分布の上側5%点は11.07である。
このとき、$χ^2$の統計量2.6は棄却されない。
期待度数の求め方
確率が問題文にあるとき
| 列1 | 列2 | 列3 | |
|---|---|---|---|
| Rの確率 | 0.1 | 0.2 | 0.7 |
| 列1 | 列2 | 列3 | 合計 | |
|---|---|---|---|---|
| Rの人 | 12 | 23 | 65 | 100 |
それぞれの期待度は、
列1の期待度=100×0.1 = 10
列2の期待度=100×0.2 = 20
列3の期待度=100×0.7 = 70
よって、この時の$χ^2$検定統計量は
$χ^2 = \frac{(12-10)^2}{10} + \frac{(23-20)^2}{20} + \frac{(65-70)^2}{70}$
1行
| 列1 | 列2 | 列3 | 合計 | |
|---|---|---|---|---|
| A | 3 | 4 | 3 | 10 |
期待度数を求めるとき
10 / 3(列数) = 3.3333...
2行
| 列1 | 列2 | 列3 | 合計 | |
|---|---|---|---|---|
| A | 3 | 4 | 3 | 10 |
| B | 2 | 2 | 6 | 10 |
| 合計 | 5 | 6 | 9 | 20 |
列2の期待度数を求めるとき、
解１ ※AとBの度数が等しい時
(4 + 2) / 2 = 3
解２
6 * 10 / 20 = 3
回帰分析
残差平方和
$残差平方和 = $
$標準誤差^2 * (サンプル数(n)-説明変数(k)-1)$
P値、F値の棄却
・P値が小さい(滅多にない確率)＝>棄却できる
・帰無仮説でF値(0.05とか)の基準よりF値が大きいと、
P値(0.05)より小さい=>棄却できる。
平均平方
〇〇の平均平方 = 〇〇の平方和/自由度
F値
F値 = 回帰の平均平方/残差の平均平方
F値 = $(標準偏差A)^2/(標準偏差B)^2$
t検定量
$t = \frac{傾きの推定値}{標準誤差}$
自由度
水準数(変動要因)が明確な場合(一元配置分散分析)
| 水準(α) | 結果1 | 結果2 | 結果3 |
|---|---|---|---|
| A | 1.1 | 2.1 | 1.5 |
| B | 2.2 | 2.3 | 1.9 |
| C | 0.9 | 0.9 | 1.0 |
$α = 3$ ※A, B, Cの３つ
$v_1 = α - 1 = 2$
$v_2 = n - α = 9 - 3 = 6$
よって、$自由度(v_1,v_2)=自由度(2,6)$
(重)回帰分析の場合
$y = α_0 + β_1x_1+β_2x_2+e$とする。
・$v_1$を求める
サンプル数$k$＝説明変数$x_1, x_2$の２つ ※$β_1,β_2$は回帰係数
=> $k=2=v_1$ … ①
回帰の出力結果のうち、
「Residual standard error : 1.XXX on "20" degrees of freedom」と記載されている場合(F分布に従う場合)
この20が$自由度v_2$ ... ②
よって、①②より、「$自由度(v_1,v_2)=自由度(2,20)$」
※$v_2 = n - k = 20$となる。
この時、$n = 22$
記載されていない場合(t分布に従うとき)
自由度$n - k - 1 = $サンプルサイズ - 説明変数 - 1
※-1は切片α
X-Yの確率計算
$P(X-Y) = P(W>=\frac{(X-Y)-μ}{\sqrt{2σ^2}})$
$※μはE[X-Y]=E[X]-E[Y]$
$※σはV[X-Y]=σ^2_x + σ^2_y-2Cov[X,Y]$
$ しかし、共分散が0、すなわちXとYが独立である場合は$
$ V[X-Y]=σ^2_x + σ^2_y となる。$
$※共分散の式：Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]$
$ XとYが独立の場合は、右記のような関係となる。［E(XY) = E(X)E(Y)］$
相関係数
確率変数XとYが0の時、"XとYは独立である。"
正規近似
二項分布の正規近似
$Z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-{\hat{p}})}{n}}}$
※$\hat{p}は標本比率、pは母比率$
仮説検定の正規近似
$Z = \frac{\hat{r}-r}{\sqrt{\frac{r(1-{r})}{n}}}$
※$\hat{r}は標本比率、rは母比率(帰無仮説r=0.05, 対立仮説r>0.05など、仮説を立てた時)$
※なんでだろ...問題によって分母が異なる？
母平均の差の検定
t検定
$t=\frac{\bar{x}-\bar{y}}{\sqrt{(\frac{1}{m} + \frac{1}{n})\frac{Σ(x_i-\bar{x})^2 + Σ(y_i-\bar{y})^2}{m+n-2}}}$
母比率の差の検定
$Z=\frac{\hat{r}_a-\hat{r}_b}{\sqrt{\frac{\hat{r}_a(1-\hat{r}_a)}{n_a}+\frac{\hat{r}_b(1-\hat{r}_b)}{n_b}}}$
その他:Markdownの数式のやつ↓