ローカルでfetchを使うにはCORS対応が一工夫必要なので、下記の記事を参考までにどうぞ
Qiita - ローカルのHTMLファイルでfetchを試す & CORSとその回避策

やりたいこと

ローカルのJSからfetch APIを使って公開APIを叩き、GETしたJSONをファイルに保存する
FileSaver.jsというnpmのパッケージをnode.jsとかの無いローカル環境で動かしてみる

FileSaver.js

Github: https://github.com/eligrey/FileSaver.js/
ファイル生成・保存をよしなにやってくれるライブラリ
1ファイルだけなのでローカルでも動いてくれた

コード

test.html

<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <meta charset="utf-8" />
    <script type="text/javascript" src="FileSaver.js"></script>
  </head>
  <body>
    <input type="button" value="取得" onclick="apiRequest()" />
    <div id="export"></div>
    <script>
      async function apiRequest() {
        const downloadUrl =
          "http://zipcloud.ibsnet.co.jp/api/search?zipcode=1620825";
        const response = await fetch(downloadUrl);
        const blob = response.blob();
        const fileName = "test.json";
        saveAs(blob, fileName);
      }
    </script>
  </body>
</html>

ファイルの中身

test.json

{
	"message": null,
	"results": [
		{
			"address1": "東京都",
			"address2": "新宿区",
			"address3": "神楽坂",
			"kana1": "ﾄｳｷｮｳﾄ",
			"kana2": "ｼﾝｼﾞｭｸｸ",
			"kana3": "ｶｸﾞﾗｻﾞｶ",
			"prefcode": "13",
			"zipcode": "1620825"
		}
	],
	"status": 200
}

まとめ

簡単だった
今度何やろう