はじめに
問題を解いていてふと気になったので考察．果たして使い道はあるのだろうか．．．
本題
長くなっても読むの飽きるので簡単に．
ある二次方程式の2解，$\alpha,\beta$に対して$,a_n=\alpha^n+\beta^n$とおく．このとき，以下が成り立つ．
{
a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n
}
いや，待てよと．どんな思考回路でこれが見つけられるのか．当方，高校のときこんなの知らなかった．
実験的アプローチ
たとえば$n=3$，すなわち，$a_3=\alpha^3+\beta^3$の値を求めたいとしよう．これはみんな知っているあの公式(?)を使えば一発．
{
\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
}
これは高校でも習うはず．では$n=4$のとき，$a_4=\alpha^4+\beta^4$を求めたいとしよう．お？まだいけるか．
{
\alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2
}
おそらく参考書などはここぐらいまでの値しか求めさせなさそう．$n=5$のときも$a_2$と$a_3$を使えばできなくはない．**ただ，やりたくない．**係数とか考えたくないし，2乗，3乗も嫌．
何とか簡単に・・・**1つ前の式まるまる使っちゃえ！**こうして偶然，邪心から生まれたのがこちら．
{
\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)(\alpha^4+\beta^4)-\alpha\beta(\alpha^3+\beta^3)
}
あれ，これ4乗でも適応できるんじゃね？と．
{
\alpha^4+\beta^4=(\alpha+\beta)(\alpha^3+\beta^3)-\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)
}
おお！！これなら累乗しなくていいし，計算もめっちゃ楽やん！！
まとめ
結局，**実験って大切．**最初から型にはめるんじゃなく，一度自分で探してみる．あがいてみる．教えてる中高生にはその「あがき」とか，足りない気がするなぁ．自分で探して見つけたときの感動は，数学に限らず勉強したな！！っていう達成感になるのに・・・