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第40話 ペル方程式

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この記事は仮面ライダービルドの数式の第40話です。

\arg\min_y
[𝑥^2 − 77𝑦^2 = 1] = 40

ペル方程式と呼ばれる式です。

x^2 − 77y^2 = 1

これは、x=351,y=40 が最小の答えになります。

x^2 − ny^2 = 1

この式はn が平方数でなければ、必ずx=1,y=0 以外の整数解が存在します。
そして答えは無限にあるのですが、最小の数さえわかってしまえば残りの数は計算できます。

n=2 の場合でみてみます。

x^2 − 2y^2 = 1

この最小の答えはx=3,y=2 です。これに対して次の計算をします。

(3 + 2\sqrt{2})^2= 17 + 12\sqrt{2}

ですから、x=17,y=12 も答えになります。
このように、$x + y\sqrt{n}$のべき乗を計算することで、すべての答えを導くことが出来ます。

しかし、最小の答えを見つけるのはちょっと厄介です。
$\sqrt{n}$を連分数展開という、分数で表す方法を使います。

\sqrt{2}=1+\frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2 + \dots}}}

これを1,2,2,2…の部分を取り出し、1,(2)とまとめます。
そして、漸化式を使って求めるのですが、この辺の仕組みは一旦おいておきます。

この数は突然大きくなる事があって、100 以下の数だとn=61 のときにx,y の数が大
きな数になります。
前後なんかはそんなに大きい数ではないですから、このへんは不思議に見えます。

izmktr
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