この記事は仮面ライダービルドの数式の第19話です。
7\sqrt[3]{20}-\Bigl(\sqrt[3]{\frac{5}{3}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\Bigr)^6=19
立方根が出てくる気持ち悪い式ですが、意外なことに答えは19とスッキリします。
ラマヌジャンが発見した式で、見るからにラマヌジャン以外にありえない、
というオーラを漂わせていますね。
ラマヌジャンが書き残した元々の式はこんな感じだそうです。
\sqrt[6]{7\sqrt[3]{20}-19}=\sqrt[3]{\frac{5}{3}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}
本当にそうなるのか、6乗の式をみてみましょう。
\begin{align}
(a-b)^6&=a^6-6a^5 b+15a^4 b^2-20a^3 b^3+15a^2 b^4-6ab^5+b^6\\
&=\{a^6+b^6-20a^3 b^3\}+a^2b\{-6a^3 +15b^3\} + ab^2\{15a^3-6b^3\}
\end{align}
\\
a=\sqrt[3]{\frac{5}{3}}, b=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}
3乗すれば立方根がとれますから、3乗になっているところだけまずは計算してみましょう。
\Bigl\{(\frac{5}{3})^2+(\frac{2}{3})^2-20\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{3}\Bigr\}
+a^2 b\Bigl\{-6\cdot\frac{5}{3}+15\cdot\frac{2}{3}\Bigr\}
+ab^2\Bigl\{ 15\cdot\frac{5}{3}-6\cdot\frac{2}{3}\Bigr\}\\
=\Bigl\{\frac{5^2+2^2-20\cdot5\cdot2}{3^2}\Bigr\}
+a^2 b\Bigl\{-2\cdot5+5\cdot2\Bigr\}
+ab^2 \Bigl\{5\cdot5-2\cdot2\Bigr\}\\
=-19+21ab^2\\
=-19+21\frac{\sqrt[3]{20}}{3}\\
=-19+7\sqrt[3]{20}
根気よく計算すればスッキリまとまるんですが…。
どういう考え方をしたらこんなこと思いつくんでしょうねぇ…。