この記事は仮面ライダービルドの数式の第27話です。
\#\{exotic\:7\:sphere\}=27
7次元球面のエキゾチック球面は27個ある、という意味です。
エキゾチック球面とは異界球面とも呼ばれ、通常の球面とは違う形をしている球面です。
通常の球面とは違う形が27個ですから、通常の球面も合わせて
8次元球の表面の形は28種類ある、と捉えてもいいでしょう。
我々が目にする球面は1種類しかありません。
大きさが違うだけで、球の形が違うということはないでしょう。
球は立体の基本的な形ですし、4次元や5次元でも特に変な挙動がなかったので、
何次元になっても同じ形と考えられていました。
球面、というのは球の表面です。
例えば、地球の表面は2次元球面です。
地表には果てはありませんが、地表の面積は無限でありません。
また、宇宙は3次元球面ではないかと言われています。
地表と同じく果てがなく、ループしていると考えられています。
すなわち地球や太陽系と言ったものが4次元球の表面にあると思われます。
4次元以上の空間は目に見えないので想像するしかありません。
そのため、いろんな計算をすることで高次元の特徴を捉えていきました。
その結果、7次元球面は同相だが微分同相でない28種類の微分構造を持つ、ということがわかりました。
要は球と呼んでいい形をしているのに、なんか違う形をしている、と捉えて下さい。
この球面の微分構造の数は、次の表のようになります。
11次元球面や15次元球面は種類が膨大に増えるのに、
12次元球面は再び1種類に戻るなど、不思議な形をしています。
| 次元数 | 微分構造 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 4 | 1(予想) |
| 5 | 1 |
| 6 | 1 |
| 7 | 28 |
| 8 | 2 |
| 9 | 8 |
| 10 | 6 |
| 11 | 992 |
| 12 | 1 |
| 13 | 3 |
| 14 | 2 |
| 15 | 16256 |
| 16 | 2 |
| 17 | 16 |
4次元球面だけは資料によっては不明となっていたため、予想をつけています。
4次元空間は低次元問題と呼ばれる、厄介な特徴があり、
それより上の5次元以上では解決されているのに、
4次元だけ未解決という事がよくあります。
実際、4次元は微分構造が無限に存在するという特徴もありますし、
難問と言われたポアンカレ予想は、3次元球面(4次元球)だけが対象であり、
2次元球面は自明(我々の生きている世界ですから…)、4次元球面以上はすでに解明されていました。
ドラえもんでは四次元ポケットに入る描写がありますが、
本当に四次元に入ったらどんな世界になっているんでしょうね。