第2話 フィボナッチ数列

この記事は仮面ライダービルドの数式の第2話です。

\begin{align}
F_{-n}&=(-1)^{n+1} F_{n}\\
F_{-3}&=2
\end{align}

この式はフィボナッチ数に関する式になります。フィボナッチ数は次の式で表される数式となります。

F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}

最初の方だけ値を見てみます。

$n$	1	2	3	4	5	6	7
$F_n$	1	1	2	3	5	8	13

このように、前の2つの数を足していくのがフィボナッチ数です。
冒頭の式は「負のフィボナッチ数」に関する式です。例えば、F0を計算してみましょう。

\begin{align}
F_{2}&=F_{0}+F_{1}&\\
F_{0}&=F_{1}-F_{2}&\\
&=1-1&=0
\end{align}

このように、フィボナッチ数は負の方向にも定義することができます。

$n$	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0
$F_n$	-8	5	-3	2	-1	1	0

正の表と比較すると、絶対値が同じで符号が交互に入れ替わることがわかります。まとめると次の式になります。
nが奇数なら　$F_{-n}=F_n$
nが偶数なら　$F_{-n}=-F_n$
これを一つの式で表したものが冒頭の式です。