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第48話 ベルトラン・チェビシェフの定理の拡張

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この記事は仮面ライダービルドの数式の第48話です。

\arg⁡min_{N}⁡[∀≥N,∃p∈(N,\frac{9}{8}N)] =48

ベルトラン・チェビシェフの定理の拡張です。
ベルトラン・チェビシェフの定理とは、ある数nとその2倍の数の間には素数が必ず存在する、という定理です。

例えば、3と6の間には5という素数があります。
10と20の間には、11,13,17と3つも素数があります。

2倍だと範囲が広いので、48以降の数とすれば、
この範囲を1.125倍まで小さくできるのが今回の式です。

48と54の間には53という素数があります。
53を避けて54~60にすると59があり、
60~66だと、61があり、という風に次の素数がどんどん出てきます。

nとn×a(a>1)との間に素数が必ずあるようにするには、aはどこまで小さくできるでしょうか。
結論から言えば、どこまでも小さく出来ます。

なぜなら、aがどんなに小さくても、nを無限大まで大きくしてしまえば、
どこかで条件を満たすnが見つかってしまうからです。

素数定理によると、素数の出現確率はlog nですから、
10000だと約1/9、1億だとその半分の約1/18です。

素数の出現確率が対数で表されるということは、2乗すると確率が半分になります。
ですから、今の数に対して何倍、という計算では
数が大きくなればなるほど余裕で条件を満たせるようになります。

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