この記事は仮面ライダービルドの数式の第24話です。
\sum_{n=1}^{N} n^2=m^2,N=24
リュカのキャノンボール問題といわれる問題です。
キャノンボールとは大砲の弾を意味します。
式の左側は平方数を順に足したもので、四角錐数とも呼ばれます。
月見団子のように丸い玉をピラミッド状に積み上げると、
団子は何個必要か、を表すものです。
そうやって、24段のピラミッドを作った時、
それらを崩して正方形に並べることができる、というのが今回の式です。
わかりやすく書くとこうです。
1^2+2^2+3^2+⋯+24^2=4900=70^2
これを満たすのは、N=1,24だけです。
左の式は以下の式で値を求めることができます。
\sum_{n=1}^N n^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
N,N+1,2N+1は互いに素なので、この値が平方数になるには、
以下のような形になる必要があります。
(N,N+1,2N+1)=(6a^2,b^2,c^2 )
N,N+1が連続するのが上記の式は以下のように変形できます。
b^2-1=(b+1)(b-1)=6a^2
あとは、場合分けをしながらaとbの値を決めるだけです。具体的には、このようになります。
(N,N+1,2N+1)=(24,25,49)