この記事は仮面ライダービルドの数式の第6話です。
\frac{\pi^2}{\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2}}=6
バーゼル問題と呼ばれるもので、平方数の逆数の和はいくらに収束するかを表す式です。
次の式と同等です。
\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\cdots= \frac{\pi^2}{6}
有理数を足していくだけで円周率が出てくるのは不思議な気がします。
この式を証明していきます。
sin関数をマクローリン展開します。
\sin x=x-\frac{1}{3!} x^3+\frac{1}{5!} x^5-\frac{1}{7!} x^7+\cdots \qquad (式1
次に、sin関数を因数分解します。次の式を思い出して下さい。
f(a)=0\ ならば\ f(x)=(x-a)g(x)
$\sin x$は0,±π,±2π…ごとに0になりますので、それらの因数を持ちます。
\sin{x}=x(x-\pi)(x+\pi)(x+2\pi)(x-2\pi) \cdots\qquad (式2
この式2を展開すると、式1になります。
ここで、恒等式の法則を使います。
f(x)=ax^2+bx+c,\ g(x)=dx^2+ex+f\\
f(x)=g(x)\ ならば\ a=d,b=e,c=f
$x$の係数は1になるはずなので、式2の各項を以下のように細工します。
\sin{x}=x(1-\frac{x}{1\pi})(1+\frac{x}{1\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{2\pi})\cdots\\
＝(1-\frac{x^2}{(1\pi)^2} )(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2} )…
πの周期でx軸と交差する関数は、sinに限らず存在するはずなので、
この無限積がsinと証明する必要がありますが、それはおいておきます。
$x^3$の係数をみていきます。
テイラー展開した方は$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$ です。
無限積の方は、次の式になります。
x(-\frac{x^2}{(1π)^2} \times 1\times 1 \cdots)+x(1\times -\frac{x^2}{(2π)^2} \times 1\times \cdots)+\cdots
これらが等しいのでまとめてみます。
-\frac{1}{6}=-\frac{1}{(1π)^2} -\frac{1}{(2π)^2} -\cdots=-\frac{1}{\pi^2} (\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\cdots)
ついに待望の平方数の逆数の無限和が右辺に出てきました。
後は整理するだけで次の式が導けます。
\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\cdots= \frac{\pi^2}{6}