この記事は仮面ライダービルドの数式の第39話です。
4\pi^2−\sum_{n=1}^\infty\frac{16}{n^2(n+1)^2(n+2)^2}=39
これは次の式を変形したものです。
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2(n+1)^2(n+2)^2}=\frac{4\pi^2-39}{16}
これも根気よく計算することでこの値になります。
解くには次の式と第6話で出てきた式を使います
\frac{1}{n(n+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)
計算していきますが、長いので盛大に省略していきます。
\left(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\right)^2=\left(\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})\right)^2\\
=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{4}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}-3(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}) \right)
この式をΣに入れていきます。
\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^2}+\frac{4}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}-3(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}) \right)\\
=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi^2}{6}+4(\frac{\pi^2}{6}-1)+(\frac{\pi^2}{6}-1-\frac{1}{4})-3(1+\frac{1}{2}) \right)\\
=\frac{1}{4}(\pi-\frac{39}{4})
ということで冒頭の式が出てきました。