Pythonでコンプガチャの期待値を求める

概要

マクドナルドでとあるキャンペーンを行うようです。

マクドナルドのハッピーセット「ハローキティ50周年」

• 第1弾 12月15日(金)～12月21日(木)　キティのぬいぐるみ25種
• 第2弾 12月22日(金)～12月28日(木)　キティのぬいぐるみ25種
• 第3弾 12月29日(金)～　　　　　　　第1弾・第2弾で登場した全50種

50種全部ほしいのですが、どうやらランダムっぽいです。
そこで、コンプできる回数の期待値はどうなるか、気になってしまったので、コンプガチャと見立てて、Pythonでプログラムを作成していこうと思います。

コンプガチャの期待値を計算

まず前提として、確率は全部均等とします。また、順番も完全ランダムとします。

コンプガチャの期待値を求める式は以下の通りです。

コンプガチャ期待値=n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

$\sum$（シグマ）に抵抗がある方もいると思いますが、分かりやすい式に書き換えると以下の通りです。

コンプガチャ期待値=n×(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +⋯+ \frac{1}{n})

Pythonで書くとこんな感じです。

def comp_gacha(n: int) -> float:
    '''
    ガチャをコンプするまでの期待値を求める
    Args:
      n (int): ガチャで当たる商品の種類数
    Returns:
      float: コンプまでの期待値
    '''
    sum = 0.0
    for i in range(1, n + 1):
        sum += 1 / i
    return n * sum

さらに、内包表記を使って書くと1行で済みます。($\sum$もたいしたことないですね)

def comp_gacha(n: int) -> float:
   '''
   ガチャをコンプするまでの期待値を求める
   Args:
     n (int): ガチャで当たる商品の種類数
   Returns:
     float: コンプまでの期待値
   '''
   return  n * sum(1 / (i + 1) for i in range(n))

実行結果は以下の通りです。
25個の期待値が95.4回なので、第1弾と第2弾を合計すると190.8回。
第3弾だけでは、224.96回 必要なので、全部集めるなら第1弾と第2弾で集めきったほうが良さそうです。

ガチャで当たる商品の種類数	コンプまでの期待値
1個	1回
2個	3回
3個	5.5回
4個	6.33回
5個	11.42回
10個	29.29回
25個	95.4回
50個	224.96回

matplotlibを使ってグラフを表示

matplotlibを使って、ガチャの個数毎の期待値をグラフで表示します。

import matplotlib.pyplot as plt

def comp_gacha(n: int) -> float:
    '''
    ガチャをコンプするまでの期待値を求める
    Args:
      n (int): ガチャで当たる商品の種類数
    Returns:
      float: コンプまでの期待値
    '''
    return  n * sum(1 / (i + 1) for i in range(n))

def plot_comp_gacha(n: int):
    '''
    ガチャをコンプするまでの期待値をグラフで表示
    Args:
      n (int): ガチャで当たる商品の種類数
    '''
    x = list(range(1, n + 1))
    y = [comp_gacha(i) for i in range(1, n + 1)]

    plt.plot(x, y, 'ro', color='forestgreen')
    plt.plot(x, y, color='forestgreen')
    plt.xlabel("ガチャで当たる商品の種類数", fontsize=18, fontname='MS Gothic')
    plt.ylabel("コンプまでの期待値", fontsize=18, fontname='MS Gothic')
    plt.grid()
    plt.show()

n = 50
plot_comp_gacha(n)

出力したグラフです。なめらかな二次曲線になりました。

終わりに

今回はコンプガチャの期待値を計算するプログラムを書きました。
基礎的なコード紹介となったので、Python入門者の参考になればと思います。

あと、キティちゃん50種類すべて集めるのは、金銭面やカロリー面で厳しいので諦めますが、皆さんも、キャンペーン期間中にマクドナルドへ足を運んでみてください。（※マクドナルドの回し者ではありません。）

ここまで読んでいただきありがとうございました。