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iOSDC Japan 2018 「圏論とSwiftへの応用」発表スライドメモ

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この記事は、先日の iOSDC Japan 2018 で発表した 「圏論とSwiftへの応用」 のスライドメモです。

来月10月16日に開催される プログラマのための圏論勉強会 - connpass の予習用の入門資料としてお使いください。
(さらに勉強したい方は、 圏論のオススメ勉強法(プログラマ向け) を合わせて読むと、キャッチアップしやすいと思います)

スライド・動画・補足記事

スライドメモ

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それでは発表を始めます。
本日のテーマは 「圏論」 です。
英語では、 Category Theory といいます。


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圏論を「1枚の絵」で表すとしたら、このような図になります。
丸を書いて、矢印を書く。 たったこれだけ。簡単そうでしょう?


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圏論を言葉で説明するとこうなります。
まず 「点」と「矢印」を使った学問 であること。
それは、 数学におけるFoundation.framework のようなものだと思ってください。
Foundationがないと、他のフレームワークが動かないですよね?それくらい重要な分野です。
その裏付けとして、圏論の 応用範囲は非常に広い です。
例えば、数学や論理学、計算機科学(プログラミング含む)、理論物理学など、ありとあらゆる科学分野で使われています。
また、圏論の素晴らしい点として、 数学の知識が無くても学べます
そして圏論は、 関数型プログラミング において大活躍します。
今日はそれを見ていきます。


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ちなみに、圏論の話は、 型システム にも密接に関係してきます。
例えば、再帰的な代数的データ型全称量化(ジェネリクス)存在量化(Swiftプロトコル、existential container) といった、Swiftでおなじみの言語機能は圏論からも学べますし、さらには多相関数を引数として使える 高ランク多相、型コンストラクタを型引数として使える 高カインド多相、 値に依存する型が作れる 依存型 といった、より高度な「型レベルプログラミング」の概念にまで発展していきます。


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つまり、 圏論を学ぶことで 「型」をより深く理解する ことができ、 現状のSwiftの理解 に加えて、 将来の可能性も見いだせる ということになります。

iOSエンジニアの私たちはこれまで、「C言語」「Objective-C」「Swift」と学んできたわけですが、 究極のゴールはずばり「圏論」 です。
ぜひ、今日の発表の通して、皆さんの中にある「究極生命体」が誕生してもらえればと思います。


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ここで1つお断りとして、現在のSwift 4.2の言語仕様で圏論を語るには、どうしても足りない機能があります。
なので今日は、 「疑似Swift」 を使って説明します。
所々、シンタックスが変わっている点がありますが、その辺は、目を瞑ってもらえれば幸いです。


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というわけで、まず最初に、 圏の定義 から見ていきましょう。


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まず、先ほどの図式の丸を「点」と見なして、A、B、Cとラベル付けします。
これらの点のことを 「対象 (object)」 と呼びます。


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それから、対象の間を「矢印」が張り巡っていきます。
これらの矢印のことを 「射 (arrow, morphism)」 と呼びます。
これら 対象と射をグルーピング したものを といいます。


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圏の例としては、 プログラミングにおける「型」 があります。
点として「型」 を当てはめると、実は 矢印は「関数」 に相当します。
「型」と「関数」で構成される圏のことを 「型の圏」 といいます。


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試しに、 String / Int / Bool を当てはめて、それらの間の関数を考えてみましょう。
思いつく限り、いろいろなパターンがあると思います。
そうすると、このような図を書くことができます。
なんとなく、圏のイメージが湧いたでしょうか?


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それでは前に戻って、 「圏」が満たすべき性質(定義) について簡単に紹介します。


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まず、すべての点について、「恒等射」 とよばれる、自分自身へと向かう矢印が存在します。
この関数は、「呼び出したところで何もしない」関数になります。


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次に、矢印は、A → B → C と連続で続く場合に、 「合成」 することができます。
この図の場合、fgと続いたら、AからCは g ⚬ f という矢印を作ることができます。
ここで、 ⚬ は 合成演算子 です。


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例えば、型の圏で、2つの関数 countisEven があったとしたら、それらを合成して、 isEven ⚬ count と1つの関数にまとめることができます。


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ここで、合成に関する重要な規則があります。
例えば、黒の矢印 fgh の3つがあった場合、まず2つを合成したオレンジの矢印ができて・・・


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それから「オレンジと残りの黒い矢印を合成」すると、「赤の矢印」ができます。
これは、 右回りと左回りの2パターンの作り方があって、それらは共に等しいです。
つまり、 fgh の合成の順序はどちらから先にやっても良い ということです。
これを 「結合律」 と呼びます。


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以上をまとめると、圏の定義はこのようになります。
他にも、 「domain / codomain」 という用語があり、矢印の「開始地点」と「終了地点」という意味です。


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これをSwiftで表現すると、こうなります。

  • まず、恒等射に関しては、 func id というものが作れます。 これは、 ジェネリックなA を渡したらA がそのまま返ってくる、何も計算しない関数 です。
  • もうひとつ、合成に関しては、 func ⚬ という記号をここでは使います。 2つの連続する関数を受け取ったら、内部でそれらを順番に呼ぶ関数 です。

圏の定義については、まずはこの2つの関数を覚えておけば合格です。


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次に 「関手」 を見ていきましょう。
英語では 「Functor」 といいます。


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「関手」を大雑把に説明すると、 「左の圏」を丸ごと対象として、中身の形をそのまま維持しながら「右の圏」へと写す「射」 になります。(上の図のオレンジの矢印のことです)


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つまり、内部の対象がそのままの形で写り・・・


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さらに、射がそのままの形で写ることで、 内部の形(構造)がそのまま維持 されています。
これが「関手」の定義です。


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例えば、型の圏で考えるなら、 「配列 Array」は関手の1つ です。
左側のプリミティブな型に対し、その配列を作ると、右側の関数は、map を使って写すことができます。


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ちなみに、圏論での一般的な表現は、このようになります。
先ほど Arraymap と書いていたところが、F に置き換わっています

ここで注目してほしいのは、右側の黒い矢印の F(g ⚬ f) です。


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実は、右側の圏だけに着目すると F(f)F(g) という矢印がすでに存在しています。
つまり、これらを合成すると、 F(g) ⚬ F(f) となって、やはり黒の矢印が得られます。


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関手の定義は、 F(g ⚬ f)F(g) ⚬ F(f)を等しいものとして扱います


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というわけで、関手についておさらいすると、こうなります。
関手は基本的に、 圏から圏へのマッピングで、形を保つもの と覚えてください。


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では試しに、関手をSwiftで書くと、どうなるでしょう?
残念ながら、現在のSwiftは、言語仕様上、関手を作ることはできません。
が、今は疑似Swiftの世界なので、何でもありです。
なので、試しにこんなprotocolを書いてみました。

注目してほしいのは、 static func map です。
これはスタティックメソッドですが、 第一引数に self をおくことで、インスタンスメソッドとしても使えるというルール にします。
そうすると、ArrayFunctor に適合させれば、配列の map は、下の使用例のコードのように「中身を入れ替える」操作になります。


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この例から言えることは、2つ:

  • まず、 関手とは「map ができる」こと
  • そして mapとは、「コンテナを変えずに中身を変える」 こと

ちなみに、これはこれで正しいのですが、いわゆる pointwiseな考え方 です。
実はもっと素晴らしい、関数型的な見方があるので、紹介したいと思います。


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先ほど、static func map の第一引数に self をおく話をしました。
が、今度は下のprotocolのように、 self を第二引数においてみます
これは、引数順序を入れ替えただけなので、同じ結果になります。
そして、これをさらにカリー化します。
すると、別の形の static func map が得られますが、型から分かるように、 mapA -> B の関数から F<A> -> F<B> の関数への変換」 を表しています。
これを 関数持ち上げ (リフト、lifting) と言います。


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これを図式で説明すると、まさに先ほどの通りです。
ああ、単に fF(f) に写っただけ だね、と。たった、それだけのことです。
が、 とても重要なものの見方 なので、ぜひ覚えていって下さい。


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この考え方は、登場人物が関数(つまり射)しか存在しないので、「射が中心の、 pointfree な考え方」 といいます。


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さて話を戻して、先ほど F(g ⚬ f)F(g) ⚬ F(f) に等しい、という話をしましたが・・・


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これをSwiftで説明すると、こうなります。
すなわち、 関数合成してから map を1回行う のと、 個々に map を呼んでから関数合成する ことは同じです。
ちなみに、 map を2回行う」ということは、2回 for文を回しているようなもので、中間表現を作ることなので、無駄なコストが発生 しています。
なので、mapを1回にするだけの方が、パフォーマンス改善につながりますし、こういうのは 最適化できる余地 があります。
なので、 コンパイラ方面に興味のある人 にとっても、圏論は非常に有意義な学問なんですね。


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ここで余談として、今まで2つの圏を区別して考えてきましたが、
実際のところはどちらもSwiftの型なので、 1つの圏としてまとめて扱うことができます


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そうすると、このような図になります。
関手 Array は自分自身の圏に向かう射になります。これを 「自己関手」 と呼びます。
実は、 私たちが普段 Functor と呼んでいたものは、自己関手 (Endofunctor) のこと だったんですね。


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では続きまして、 「自然変換」 について説明します。
英語で、Natural Transformationといいます。


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「自然変換」は、先ほど話した関手が 同じ方向に2つあるパターン です。
関手FGがあって、それぞれ左の圏の構造を右に反映している のが分かります (黄色と緑の点線)。


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ここで、自然変換の定義は、 本来矢印である2つの関手を対象とみなして、「その間にさらに伸びる射」 になります。
これはつまり、 関手の間にさらに関係性がある(矢印の間にさらに矢印がある) ことを意味します。
この自然変換αは、写った先の圏では、「複数のジェネリックな射」として現れます。
そう、実は 自然変換とはジェネリック関数 のことなんですね。
別名、多相関数 とも言います。


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ここで注目してほしいのは、 関手によってできた黒の矢印 と、 自然変換によってできた赤の矢印 が組み合わさって、四角形ができていることです。
実はこの四角形は、右回りの合成でも、左回りの合成でも、どちらも等しくなります。
これを 可換図式 といいます。


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というわけで、今述べた自然変換の定義がこちらです。


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この意味をSwiftで説明すると、こうなります。
まず 自然変換の関数の型は F<A> -> G<A> で、中身を変えずにコンテナを変える「ジェネリック関数」 を表します。
そして、これを func alpha とおくと、実は、 先にmap してから自然変換 alpha を計算しても、先に自然変換 alpha してから map しても同じ であることが言えます。


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試しに、配列の最初の要素を取ってくる Array.first を例にとってみましょう。
これは Array から Optional へのジェネリック関数 なので、まさに自然変換の形です (NOTE: Optional も関手の1つ)。
そして、先ほどの可換式に当てはめると、このように書けます。
つまり、 map で文字列変換してから「最初の要素を取り出し」 ても、 「最初の要素を取り出し」てから map で文字列変換しても結果が変わらない ということです。
普段、プログラミングしていたら当たり前のように見える話ですが、これをきちんと形式化したものが自然変換になります。
ここで重要なのは、 どちらのフローで計算しても結果が変わらないのだとしたら、 計算量が少ない方が良い に決まっていますよね?
この場合ですと、「最初の要素を取り出し」てから map した方が早いので、ここでも コンパイラの最適化の余地がある といえます。


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続いて 「米田の補題」 です。
英語では Yoneda Lemma といいます。


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「米田の補題」は、先ほどの自然変換の話において、 「Hom関手」と呼ばれる「関数の集合の関手」 というものを考えることで、導くことができます。
ただ、それを説明するために30分の発表では短すぎるので、雰囲気だけお伝えします。

参考: iOSDC Japan 2018 で発表した「圏論とSwiftへの応用」の補足 - 米田の補題について - Qiita


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まず、右の「集合の圏」にあるこの青い集合。
通常は、空っぽの集合(値が入っていない)の場合もありうるのですが、「Hom関手」を使う場合は特別で、この場合だと $\mathrm{id}_A$ という恒等射が値が必ず存在します


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すると、右上の赤い集合には $f$ が必ずいて・・・


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そして 自然変換α を通して、下の集合にも値が入ってきます。
つまり、 すべての集合に、値が必ず存在します。


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これの意味は、まず 自然変換 $\alpha$ が決まれば、必然的に $\alpha_A$ の値が求まります し・・・


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逆に $\alpha_A$ が決まると、可換図式から、$\alpha_B$、$\alpha_C$ ...も決まって、結果的に自然変換 $\alpha$ そのものが決まります


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これを 米田の補題 と言い、式で表すとこのように書けます。
上の式はHom関手の意味を知らないと分かりにくいですが、型で表現した下の式は、もう少し簡単になります。
これの意味するところは、 左辺の「自然変換(つまりジェネリック関数)」の型 と、 右辺の「値」の型 が1:1の関係になる、ということです。
関数と値が同じになる ・・・なんだか、すごくないですか?


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実際に、Swiftで例をお見せします。
例えば、let fa という「値」と、それを「ジェネリック関数」で包んだ func closure、つまりクロージャーがあったとしたら、 両者は同じものとみなせます
これはつまり、 「同型」の関係 です。
「同型」の意味は、お互いに 相互変換が可能 ということです。


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実際に、相互変換するコードをSwiftで書くと、このようになります
上の関数 faToClosure は、「値から自然変換」に変換。
下の関数 closureToFa は、「自然変換から値」に逆変換します。
実装方法に関しては、この書き方以外にありません。

ちなみに下の closureToFa は、引数にジェネリック関数を受け取っていますが、これは ランク2多相 と呼ばれるもので、残念ながらまだSwiftには実装されていません。


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一応、参考までに、 「同型」の話 についてもっと知りたい方は、以前、私が発表した「代数的データ型」の資料がありますので、機会があったらぜひチェックしてみてください。

参考: Algebraic Data Type in Swift - Speaker Deck


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では、この米田の補題から、どういったことが分かるでしょうか?
一つの例として、「CPS変換」があります。
CPSというのは Continuation Passing Style の略で、 「継続」と呼ばれるコールバック形式の書き方 だと思ってください。
米田の補題では、 F(T) = T とおくと継続 が得られ、 F(T) = X -> T とおくと、米田埋め込み と言われる 「CPS変換」 が得られます。
後者は、 ∀B. (A -> B) -> (X -> BX -> A が同型(相互変換が可能)なので、「右辺から左辺に変換する関数」として、実際にSwiftのコードで書いてみると、下のような func cpsTransform が書けます。


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それでは、この「CPS変換」は一体何の役に立つのでしょうか?
実は、 「末尾再帰の最適化」 の話に関係してきます。
例えば、上のコードのように、階乗を計算する func factorialがあったとします。
これは末尾再帰の形ではないので、nの数が大きくなるほど、スタックを食いつぶして、最終的にオーバーフローでクラッシュします。
ここで、先ほどの CPS変換 cpsTransform を使うと、あら不思議、 継続を使った、末尾再帰のコードに勝手に最適化 されました。
ちなみにSwiftコンパイラは、裏側でこのような末尾再帰最適化を自動で行っているので、普段のiOS開発で意識することはほとんどないでしょう。


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・・・というわけで、米田の補題はここまで。
それでは本日のメインディッシュである 「随伴」 を見ていきます。
英語で Adjunctionといいます。

随伴は、圏論だけでなく、Swiftプログラミングにおいてもとても重要な概念です。


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図で説明すると、このようになります。
まず2つの圏があり、関手FG がそれぞれ 逆方向 に伸びています。
そして、何か CD という対象があったら、F(C)U(D) に写したりできます。


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ここで、青と赤の対象の間の ピンク色の「矢印の集合」 に注目すると・・・


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随伴の定義は、 「射の集合」が「1:1の関係」 になることです。
つまり、2つの圏が同型(や同値)ではなく、それを弱めた「射の集合のみが同型」 になります。
同型であることは、つまり 「左側の射の集合」から「右側の射の集合」に変換する関数 leftAdjunct と、逆変換 rightAdjunct の2つの関数を定義する ことができます。


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随伴の関係を式で書くと、このようになります。
ちなみに ⊣ は随伴の記号 です。
FUをそれぞれ、 左随伴関手、右随伴関手 と呼びます。


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随伴の(直接的・間接的な)関係は、実に様々なパターンがあります。
例えば、

  • 足し算と掛け算が、対角関手を経て、間接的につながっている
  • (この後話す) タプル(積)と関数(指数対象)
  • 存在量化(プロトコル)と全称量化(ジェネリクス) の間接的な関係
  • 自由関手と忘却関手

などがあります。


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それでは、随伴を疑似Swiftを使って表してみましょう。
随伴を定義するには、leftAdjunct と rightAdjunct が必要 でした。
なので、このようなprotocolの形で書けると思います。


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試しに、左随伴にタプル、右随伴に関数型を使うSwiftの例を上げます。
typealiasTuple<A, B>Func<A, B> を用意します。


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まず、関手であることを示すために、protocol Functor を採用します。
すると、このような形で書くことができます。


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それから protocol Adjunction を採用すると、このようになります。
ここで注目してほしいのは、 leftAdjunct と rightAdjunct の中身 です。

  • leftAdjunct は、c を引数に、 a を引数にそれぞれ受け取り、タプルにしてから関数 f に適用している
  • rightAdjunct は、タプルを引数に受け取ってから、個々に分解して、関数 f にそれらを部分適用 している

つまり、 個々の引数をタプルにまとめたり、逆にタプルを個々の引数に分解している わけです。
・・・これらのメソッド、何かに見覚えがありませんか?


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そう、 カリー化 ですね。
見覚えがあるかもしれませんが、 func curryfunc uncurry はこのように書けます。

参考: https://github.com/thoughtbot/Curry


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というわけで、タプルと関数型の随伴の場合、 leftAdjunctrightAdjunct は、実は func curryfunc uncurry に対応します。


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次に、随伴のもう一つの定義を見ていきます。


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先ほど、2つの圏の射 $f$ と $\overline{f}$ は、1:1 で対応している、という話をしました。


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ここで、2つの関手 FG1回ずつ適用して戻ってくる場合 を考えてみます。
すると、このような図が書けます。
(前の状態に戻ってきていないので、随伴が同型とは異なることが分かります)

ここで、新しくできた F(U(D))U(F(C)) について、それぞれどのような関係があるかを見てみます。


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まず、関手の性質で、これら黒の矢印は、関手 FG によるリフトであることが分かります。


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次に、随伴関係から、実は ピンクの射の集合もまた1:1の関係 があります。
(3つ前のスライドで、 D = F(C) とおくことで、左の圏の2つの対象が1つにつぶれるイメージです)

ここで、 左の対象には必ず1つ以上の射があり、それが id です。
それを leftAdjunct して対応する右側の圏の射を unit (単元) と定義します。


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同様に、右の圏のid に対応する左の圏の射を counit (余単元) と定義します。


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そうすると、この図のような三角形が出来上がるわけですが、これらは可換になります。


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いま見てきたことは、 leftAdjunct/rightAdjunctの代わりに、 unit/counit を使っても随伴が定義できる 、というものです。


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さて、ここでちょっとした型遊びをします。
先ほどの counit: F<U<D>> -> D で、 D はどんな型でも良いので、 試しに D = F<C>を代入してみます。
すると、 counit: F<U<F<C>>> -> F<C> になります。
これをさらに 関手 U でリフトすると、 U<F<U<F<C>>>> -> U<F<C>> が得られます。
これを join という名前の関数 で定義します。


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すると、このようにまとめられますが、ここで、U<F<...>> というのがたくさん出てきているので、U<F<C>> = M<C> とおいてしまいます。


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すると、このようにシンプルになりました。
こうなると、さらに joinmap を組み合わせて flatMap なんてのも作れたりします。

・・・ん? flatMap
どこかで聞き覚えがありますね。


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そう、実はこのM、 モナド のことなんです。


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モナドは、簡単に言うと、 右随伴関手に左随伴関手を合成したもの です。
そして、 合成したものは、元の圏に戻ってくるので、モナドは自己関手 です。
これによって、 「モナドは自己関手の圏における◯△□・・・」 というところまで言えるようになりました。


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さて、このモナドですが、先ほどのタプルと関数型の例を使って、実際に作ってみましょう。
右随伴関手(関数)に左随伴関手(タプル)を合成するということは、 「関数の中にタプルを入れる」 ことになるので、型としては S -> (A, S)
実はこれ、 状態モナド のことです。
関数型プログラミングを知っている方なら、 状態モナドが圏論と密接に絡んでくる と知って、胸が熱くなるポイントではないかと思います。


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ですが、私たちが知りたいのは、モナドよりもさらに先の世界です。
いや、むしろ 一周回って「逆の世界」 を考えてみましょう。
そう、モナド U(F(C)) の逆 F(U(D)) を考えてみます。


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すると、先ほど モナドで出てきた関数の向きがすべて逆 になります。
unit だったものは counit に、 joinduplicate と呼ばれる関数に変わります。
そして、 モナドのMの文字もまた逆さになり、Wという記号 を使います。


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そう、この「Mの双対」とも言われる、ライバル的存在・・・


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これを 「Comonad」 といいます。
日本語では「余モナド」ともいいます。


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コモナドもまた、随伴からF(U(D)) という形で作ることができます。


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実際にSwiftの例に落とし込んでみます。
すると、モナドのときとは逆で、今度は 「タプルの中に関数を入れる」 形になります。
すると、このような struct Store 型が作れます。
これを 余状態余モナド といいます。


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ただ、 余状態余モナド自体はあまり面白くないので、ここでさらに 余代数 (Coalgebra) を考えてみます。
余代数というのは、とりあえず S を追加で引数に取る ものだと思ってください。
すると、なんということでしょう、レンズ が出来上がりました。
レンズは、皆さんご存知でしょうか?
簡単にいうと、すごいgetter/setterみたいなものです。

参考: SwiftでLens(すごいgetter/setter)を実装してみた - Qiita


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つまり、一言でいうと、こういうことです。
「レンズは余状態余モナドの余代数だよ。」
・・・すみません、これを言ってみたかっただけでした。


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というわけで、まとめです。
今日の発表では、 圏の定義 から始まり、 関手自然変換米田の補題随伴 を学んだと思ったら、いつの間にか モナドとコモナド が出てきて、 状態モナドやレンズ の話にまで発展しました。
後半は、関数型プログラミングを知っていないと、いまいちピンとこないと思うので、ひとまず関数型ポエムだと思って聞き流してください。
初めて圏論を学ぶ人は、「関手と自然変換」まで理解できれば十分 だと思います。


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もし、もっと深く圏論を学んでみたいという方は、さらに面白いテーマが控えていますので、ぜひこちらもチェックしてみてください。


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参考文献(初学者向け)

参考: 発表後に、こちらの記事を書きました


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参考文献(中〜上級者向け)


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というわけで、今日の発表を終わりにしたいと思います。
ご清聴ありがとうございました。

inamiy
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