なぜ円周率定数は3.14159 26535 89793**1**なのか

精度について　円周率を例題に

馴染みの円周率についての話。
先頭の何桁かを諳んじられる人も多いかと思われる。
π = 3.14159 26535 89793 23846・・・

だが多くの処理系で小数点以下16桁目が"2"ではなく"1"になってる。
3.14159 26535 89793 1・・・

IEEE754 倍精度(52bit+1bit)

結論を書くと、2進小数で近似しているためである。
IEEE754 倍精度では53bit(=52bit仮数部 + 先頭1bit)で表現するため、一番近い近似値がこの数値となる。

Ｒで確認してみる

多倍長精度計算パッケージ Rmpfr を使用して確認してみる。

100bitで表現した場合の円周率は以下となる。

Const("pi", 100)
1 'mpfr' number of precision 100 bits
[1] 3.1415926535897932384626433832793

3.14159 26535 89793 2となっている。

53bitで表現した場合の円周率は以下となる。

Const("pi", 53)
1 'mpfr' number of precision 53 bits
[1] 3.1415926535897931
3.14159 26535 89793 1となっている。

3.14159 26535 89793 2となるためには、精度としてあと2bit必要で、55bitあればよい。

Const("pi", 55)
1 'mpfr' number of precision 55 bits
[1] 3.14159265358979323

おまけ　円周率定数の2進数表現

1 1.001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 (0100)
IEEE754では 先頭の1は暗黙とするので2つ目の１から16進で表現すると
09 21 FB 54 44 2D 18 (4)
となる。
()内はIEEE754の52bit範囲外だが、あと2bitあれば、精度が上がることが分かると思う。