（無限積÷無限積）が対数となる場合

二次式

x^2 - y^2 = \left( x + y \right) \left( x - y \right)

から

\begin{eqnarray}
a - b
 & = & \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)  \\
 & = & \left( a ^ \frac{1}{2} + b ^ \frac{1}{2} \right) \left( a ^ \frac{1}{2} - b ^ \frac{1}{2} \right) \\
 & = & \left( a ^ \frac{1}{2} + b ^ \frac{1}{2} \right) \left( a ^ \frac{1}{4} + b ^ \frac{1}{4} \right) \left( a ^ \frac{1}{4} - b ^ \frac{1}{4} \right) \\
 & = & \left( a ^ \frac{1}{2} + b ^ \frac{1}{2} \right) \left( a ^ \frac{1}{4} + b ^ \frac{1}{4} \right) \left( a ^ \frac{1}{8} + b ^ \frac{1}{8} \right) \left( a ^ \frac{1}{8} - b ^ \frac{1}{8} \right) \\
 & & \cdots \\
 & = & \left( a ^ \frac{1}{2} + b ^ \frac{1}{2} \right) \left( a ^ \frac{1}{4} + b ^ \frac{1}{4} \right) \left( a ^ \frac{1}{8} + b ^ \frac{1}{8} \right) \cdots \left( a ^ {2^{-n}} + b ^ {2^{-n}} \right) \left( a ^ {2^{-n}} - b ^ {2^{-n}} \right) \\
 & = & \left( a ^ {2^{-n}} - b ^ {2^{-n}} \right) \prod_{k=1}^{n} \left( a ^ {2^{-k}} + b ^ {2^{-k}} \right) \\
\frac{ a - b }{ a ^ {2^{-n}} - b ^ {2^{-n}} } & = & \prod_{k=1}^{n} \left( a ^ {2^{-k}} + b ^ {2^{-k}} \right) \\
\end{eqnarray}

を考えます。すると

\begin{eqnarray}
\frac{ s - t }{ u - v }
 & = & \frac
 { s ^ {2^{-n}} - t ^ {2^{-n}} }
 { u ^ {2^{-n}} - v ^ {2^{-n}} }
 \cdot \frac
 { \prod_{k=1}^{n} \left( s ^ {2^{-k}} + t ^ {2^{-k}} \right) }
 { \prod_{k=1}^{n} \left( u ^ {2^{-k}} + v ^ {2^{-k}} \right) }
\end{eqnarray}

も考えることができます。式の一部

\frac
 { s ^ {2^{-n}} - t ^ {2^{-n}} }
 { u ^ {2^{-n}} - v ^ {2^{-n}} }

を $n \to \infty$ の極限として Mathematica 様に喰わせると

\lim_{n \to \infty} \frac{ s ^ {2^{-n}} - t ^ {2^{-n}} }{ u ^ {2^{-n}} - v ^ {2^{-n}} } = \frac{ \log s - \log t }{ \log u - \log v } = \frac{ \log \frac{s}{t} }{ { \log \frac{u}{v} }} = \log_{\frac{u}{v}} \frac{s}{t}

を求めてくれました。よって

\begin{eqnarray}
\frac
 { \prod_{k=1}^{\infty} \left( s ^ {2^{-k}} + t ^ {2^{-k}} \right) }
 { \prod_{k=1}^{\infty} \left( u ^ {2^{-k}} + v ^ {2^{-k}} \right) }
 & = & \frac{ s - t }{ u - v } \cdot \frac{ \log u - \log v }{ \log s - \log t } \\
 & = & \frac{ s - t }{ u - v } \cdot \frac{ \log \frac{u}{v} }{ \log \frac{s}{t} } \\
 & = & \frac{ s - t }{ u - v } \cdot \log_\frac{s}{t} \frac{u}{v} \\
 & = & \log_\frac{s}{t} \left( \frac{u}{v} \right)^{ \frac{ s - t }{ u - v } }  \\
\end{eqnarray}

となるようです。