C++11 の std::mt19937 を使って、初期値（0x0000000-0xffffffff）と、「最初から偶数（または奇数）が連続する回数」の関係を調べてみました。

調査用プログラム

C++11

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
  struct result
  {
    uint32_t seed;
    uint32_t value;
    uint32_t count;
  };

  vector<result> res_list;
  uint32_t seed = 0;

  do
    {
      mt19937 rand(seed);
      uint32_t count = 1;
      uint32_t value = rand() & 1;
      while ((rand() & 1) == value)
        count++;
      res_list.push_back ({ seed, value, count });
    }
  while (++seed != 0);

  sort(res_list.begin(), res_list.end(), [](result &a, result &b) {
    return (a.count > b.count) || (a.count == b.count && a.seed < b.seed);
  });

  for_each(res_list.begin(), res_list.end(), [](result &res) {
    printf("%d,%2d,0x%08x\n", res.value, res.count, res.seed);
  });

  return 0;
}

結果が出るまで数時間かかります。また、出力されるテキストは 64 または 68 GiB (1 行 15 + [改行] バイトで 2³²行) になります。

結果

0,34,0xecd5c6c6
1,32,0xb0c30fba
1,32,0xb8422813
1,31,0xe417fbd4
0,31,0xe4ffc2e9
0,30,0x39b98442
0,30,0x447a34c4
1,29,0x466c9425
0,29,0x563b264d
1,29,0x74d84d8d
0,29,0x7e27ad00
0,29,0x87129e85
0,29,0x8fd4babb
0,28,0x01b5fa81
1,28,0x4f9926e7
0,28,0x5b9d3e21
1,28,0x69d1a06c
0,28,0x6f6c068b
0,28,0x7cc4c00a
0,28,0x956ded59
0,28,0x9ea5392b
0,28,0xbfb6306b
...

この結果から

最初から 34 回連続で偶数だった場合、35 回目は必ず奇数

最初から 32 回連続で奇数だった場合、33 回目は必ず偶数

になることがわかりました。(疑似乱数ならばどのアルゴリズムにも連続回数の上限が存在する)

二値（表裏など）のゲームなどで使用したときに生じる疑問

「アプリ起動後から変化がない状態が最大で何回続く？」

の回答くらいにはなるでしょう。(この回数だとバグってるとしか思えない状態になるので問題視されそうですが…)

連続回数に対する「初期値の数」は

連続回数	偶奇	初期値の数	備考
1	0	1073722183	2³⁰ = 1073741824
1	1	1073711203	2³⁰ = 1073741824
2	0	536887783	2²⁹ = 536870912
2	1	536920124	2²⁹ = 536870912
3	0	268442292	2²⁸ = 268435456
3	1	268420061	2²⁸ = 268435456
4	0	134224048	2²⁷ = 134217728
4	1	134195273	2²⁷ = 134217728
5	0	67105783	2²⁶ = 67108864
5	1	67120943	2²⁶ = 67108864
6	0	33553128	2²⁵ = 33554432
6	1	33558019	2²⁵ = 33554432
7	0	16775674	2²⁴ = 16777216
7	1	16783387	2²⁴ = 16777216
8	0	8387314	2²³ = 8388608
8	1	8388327	2²³ = 8388608
9	0	4191768	2²² = 4194304
9	1	4194618	2²² = 4194304
10	0	2097614	2²¹ = 2097152
10	1	2096852	2²¹ = 2097152
11	0	1046118	2²⁰ = 1048576
11	1	1048739	2²⁰ = 1048576
12	0	523786	2¹⁹ = 524288
12	1	524062	2¹⁹ = 524288
13	0	262298	2¹⁸ = 262144
13	1	261912	2¹⁸ = 262144
14	0	130285	2¹⁷ = 131072
14	1	131016	2¹⁷ = 131072
15	0	65322	2¹⁶ = 65536
15	1	65926	2¹⁶ = 65536
16	0	32944	2¹⁵ = 32768
16	1	33134	2¹⁵ = 32768
17	0	16290	2¹⁴ = 16384
17	1	16488	2¹⁴ = 16384
18	0	8049	2¹³ = 8192
18	1	8067	2¹³ = 8192
19	0	4068	2¹² = 4096
19	1	4103	2¹² = 4096
20	0	2069	2¹¹ = 2048
20	1	2061	2¹¹ = 2048
21	0	1056	2¹⁰ = 1024
21	1	1056	2¹⁰ = 1024
22	0	528	2⁹ = 512
22	1	507	2⁹ = 512
23	0	260	2⁸ = 256
23	1	252	2⁸ = 256
24	0	123	2⁷ = 128
24	1	116	2⁷ = 128
25	0	67	2⁶ = 64
25	1	68	2⁶ = 64
26	0	32	2⁵ = 32
26	1	37	2⁵ = 32
27	0	13	2⁴ = 16
27	1	27	2⁴ = 16
28	0	7	2³ = 8
28	1	3	2³ = 8
29	0	4	2² = 4
29	1	2	2² = 4
30	0	2	2¹ = 2
30	1	0	2¹ = 2
31	0	1	2⁰ = 1
31	1	1	2⁰ = 1
32	0	0
32	1	2
33	0	0
33	1	0
34	0	1
34	1	0

となりました。備考は、生成順32回を２進数で表したとき

01xxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx
10xxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

001xxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx
110xxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

0001xxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx
1110xxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

...

の xxx..xx 部分に当て嵌まるパターンの数です。初期値の数と大差ない結果になっています。素晴らしいですね。

64ビット版(mt19937_64) でも同様の結果が期待できるので、連続回数は最大で 64 あたりが予想されます。