正多面体の
- 面の角数を N
- 頂点に接する面の数を F
- 頂点数を V
- 面数を P
とすると
| N | F | V | P | |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| 正六面体 | 4 | 3 | 6 | 8 |
| 正八面体 | 3 | 4 | 8 | 6 |
| 正十二面体 | 5 | 3 | 20 | 12 |
| 正二十面体 | 3 | 5 | 12 | 20 |
整理して、面が正三角形の正多面体と対になる正多面体の表にすると
| V | P | N=3 | F/N | F=3 | P | V |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 4 | 正四面体 | 3 | 正四面体 | 4 | 4 |
| 6 | 8 | 正八面体 | 4 | 正六面体 | 6 | 8 |
| 12 | 20 | 正二十面体 | 5 | 正十二面体 | 12 | 20 |
になります。
半径1の球に接する正多面体のデータを
- 頂点座標（単位ベクトル相当）
- 法線ベクトル（単位ベクトル）
とすると、頂点座標と法線ベクトルを入れ替えると、対となる正多面体のデータになります。
対になる二つの正多面体は、頂点データと法線データを混ぜた一つの表のデータにできます。（表示したときの向きが好みのものにならない、という問題はあります）
「正多面体のデータを作る」を使って、中心から面までの距離（または頂点座標と法線ベクトルの内積） D を求めると
D = \cot{ \frac{\pi}{F} } \cot{ \frac{\pi}{N} }
となって、N と F を入れ替えても同じ値になります。上の表に追加すると
| V | P | N=3 | F/N | F=3 | P | V | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 4 | 正四面体 | 3 | 正四面体 | 4 | 4 | $\frac{1}{3}$ |
| 6 | 8 | 正八面体 | 4 | 正六面体 | 6 | 8 | $\sqrt{\frac{1}{3}}$ |
| 12 | 20 | 正二十面体 | 5 | 正十二面体 | 12 | 20 | $\sqrt{\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}$ |
になります。正多面体の双対性には、ちゃんと共通値が出てくるんですね。
全ての正多面体のデータを一つのベクトル表に押し込めて縮められないか？という視点でイロイロ考えてみましたが、4,6,8面体と、12,20面体の二つのグループになってしまうので諦めました。