SymPyで極限値を求める

　SymPyを使って高校数学でおなじみの三角関数の極限値を求めます。
$$
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\end{equation*}
$$

関数のプロット

はじめに関数をプロットしてみます。複数のSymbolを宣言する場合はsymbolsが便利です。

%matplotlib inline
from sympy import sin
from sympy import pi
from sympy import symbols
from sympy.plotting import plot

x, y1, y2, y3  = symbols('x y1 y2 y3')
y1 = x
y2 = sin(x)
y3 = y2/y1

plot(y1, y2, y3, (x, -pi/2, pi/2))

このままだとグラフと関数y1 y2 y3の対応がわかりません。
y1 y2 y3を個別にプロットして、一つのグラフにまとめる形にします。

p1 = plot(y1,(x, -pi/2, pi/2),line_color='#ff0000', legend=True)
p2 = plot(y2,(x, -pi/2, pi/2),line_color='#00ff00', legend=True)
p3 = plot(y3,(x, -pi/2, pi/2),line_color='#0000ff', legend=True)
p1.extend(p2)
p1.extend(p3)
p1.legend = True
p1.show()

原点付近でxとsin(x)の傾きが等しいように見えます。

極限値の計算

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$の極限値を求めます。
sympyからlimitを読み込みます。

from sympy import limit
limit(sin(x)/x, x, 0)

$$1$$

当然ながら$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$となることがわかります。
引数が無限大における極限値$\lim_{x \to \infty} f(x)$を求める場合はsympyからooを読み込む必要があります。

from sympy import oo
limit(sin(x)/x, x, oo)

$$0$$
$y = \sin x$が振動するのに対して$y = x$は単調増加するため極限値は0になります。