Flutterを使用している場合のランチャースクリーンの設定方法についてです。
android編
ディレクトリandroid/app/src/main/res/drawable/に設定をしていきます。

ランチャー画像の保存
上記drawableディレクトリ直下にランチャースクリーンに表示される画像を配置します。
この記事ではlauncher.pngを配置したこととします。

launch_background.xmlの編集
drawableディレクトリ直下に元からあるlaunch_background.xmlにランチャー画像設定を記述します。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!-- Modify this file to customize your launch splash screen -->
<layer-list xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android">
<item android:drawable="?android:colorBackground" />
<!-- You can insert your own image assets here -->
<!-- <item>
<bitmap
android:gravity="center"
android:src="@mipmap/launch_image" />
</item> -->
</layer-list>
上記が初期状態で、こちらに上記画像の設定を記述します。
<item>のコメントを解除して下記の通りに書き換えます。
android:src="@mipmap/launch_image"
↓
android:src="@drawable/launcher"
画像設定を記述したものが下記の通りになります。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!-- Modify this file to customize your launch splash screen -->
<layer-list xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android">
<item android:drawable="?android:colorBackground" />
<!-- You can insert your own image assets here -->
<item>
<bitmap
android:gravity="center"
android:src="@drawable/launcher" />
</item>
</layer-list>
背景色設定に関してはdrawableと同階層にあるvaluesディレクトリのcolors.xmlを参照すると、<color name="{カラー設定名称}">#212121</color>というように記載されています。
※この記事内ではカラー設定名称を`bg_color_launcher*と置き換えて記述します。
そちらを<item android:drawable="?android:colorBackground" />に下記の通り、記述していきます。
<item android:drawable="@color/bg_color_launcher" />
@color/bg_color_launcher,@drawable/launcherはエディタ上では赤く表記されていると思いますが問題ないです。
最終的には下記の通りになっていると思います。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!-- Modify this file to customize your launch splash screen -->
<layer-list xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android">
<item android:drawable="@color/bg_color_launcher" />
<!-- You can insert your own image assets here -->
<item>
<bitmap
android:gravity="center"
android:src="@drawable/launcher" />
</item>
</layer-list>
こちらで設定完了です。エミュレータなどで確認してみてください。
アプリケーションの起動の際に設定した画像が表示されていれば完成です。
iOS編
iosに関してXcodeで作業します。
iOSのディレクトリ上で右クリックFlutter->Open iOS module in Xcodeを選択するとXcodeが起動します。

画像の登録 Assets.xcassets
ランチャー用の画像を登録します。Runner/Assets.xcassetsを選択してください。するとlaunchImageを登録するUIが表示されます。
とりあえず、1x,2x,3xと表示されている上の四角の領域に画像をドラッグしてください。

背景色の設定
背景色の設定に関してはLaunchScreen.storyboard->viewを選択状態にして一番右のパレット内にあるBackgroundのセレクトボックスから設定することが可能です。

以上でiOSのエミュレータ等で確認してみてください。問題なく表示されると思います。
以上です。