リュカ数を求めるプログラム

リュカ数を求めるプログラムをC++で実装します。実行環境はVisual Studio Community 2022バージョン17.10.1とC++20です。

リュカ数の定義

リュカ数とは、初項を2、2項目を1とし、それ以降の項が直前の2つの項の和になっている数列の項と定義されています。$n$を正の整数とすると以下の数式で表すことが出来ます。

\displaylines{
L_1 = 2\\
L_2 = 1\\
L_{n+2} = L_n + L_{n+1}
}

リュカ数を計算するプログラム

リュカ数を求めるプログラムを以下に示します。

Lucas.cpp

#include <iostream>
#include <vector>

int main()
{
	int n; //出力する項数
	std::cin >> n;

	if (n == 1)
	{
		std::cout << 2 << std::endl;
	}
	else if (n == 2)
	{
		std::cout << 2 << std::endl;
		std::cout << 1 << std::endl;
	}
	else if (n >= 3)
	{
		std::vector<long long> lucas(n);
		lucas.at(0) = 2; //初項に2を設定
		lucas.at(1) = 1; //2項目に1を設定

		for (int i = 2; i < n; i++)
		{
			lucas.at(i) = lucas.at(i - 1) + lucas.at(i - 2); //直前の2項の和を計算する
		}

		for (auto x : lucas)
		{
			std::cout << x << std::endl;
		}
	}
	else
	{
		return 0; //入力された値が正の整数でなければプログラムを終了する
	}
}

実行すると整数$n$の入力が求められるので、正の整数を入力します。$n$を入力したら$n$項目までのリュカ数が表示されます。

リュカ数と黄金比

リュカ数の性質として、$n$が大きくなると、リュカ数の隣接する2項の比$L_{n+1}/L_n$は黄金比に収束することが知られています。この性質をプログラムで確認してみます。なお、C++では標準ライブラリのnumbersを用いて黄金比の値を取得できます。黄金比の値は1.61803のようです。

C++における黄金比の値の定義

GoldenRatio.cpp

#include <iostream>
#include <numbers>

int main()
{
	std::cout << std::numbers::phi;
    //1.61803
}

リュカ数列における隣接項の比の推移

Lucas.cpp

#include <iostream>
#include <vector>

int main()
{
	std::vector<long long> lucas(21); //21項のリュカ数列を格納するための配列
	lucas.at(0) = 2;
	lucas.at(1) = 1;

	for (int i = 2; i <= 20; i++)
	{
		lucas.at(i) = lucas.at(i - 1) + lucas.at(i - 2);
	}

	for (int i = 1; i <= 20; i++)
	{
		std::cout << double(lucas.at(i)) / lucas.at(i - 1) << std::endl; //リュカ数列の隣接する2項を求める
	}
}

出力

0.5
3
1.33333
1.75
1.57143
1.63636
1.61111
1.62069
1.61702
1.61842
1.61789
1.61809
1.61801
1.61804
1.61803
1.61804
1.61803
1.61803
1.61803
1.61803

1.61803に収束していくことがわかります。

参考