インターフェースというよく聞くけど、正しく理解できてない言葉の解像度を深めようと思います。ただ、あまり踏み込みすぎず、あくまでも基本だけに留めます。
まずは、英語としての意味から、
interface
〔異質な物の間の〕接合部分、接触［境界］面［部・領域］
接点、仲立ち、連絡（係）、橋渡し（役）
結び付ける、結合させる、つなぎ合わせる
ようするにインターフェースは、「つながりの部分、橋渡しの部分」と解釈していいかなと思います。
「何」と「何」をつなぐのかによって以下のように区別がつけられています。
ハードウェアインターフェース：機械と機械をつなぐ
・USB、マウス、キーボード、プリンター、外付けHDD
・パソコンと液晶ディスプレイを接続するHDMI
ソフトウェアインターフェース：プログラムとプログラムをつなぐ
・OS
・ミドルウェア
・プラグイン
・API
ユーザーインターフェース：人とデバイスをつなぐ
・人が使う装置全般
とまぁ色々あります。
ウェブの世界に関わりの深いインターフェースと言えば間違いなくこの２つですね。
API：Application Programming Interface
UI：User Interface
API
ソフトウェア同士が互いに情報をやりとりするのに使用するインタフェースの仕様。
外部に向けて公開することにより、第三者が開発したソフトウェアと機能を共有できるようにしてくれる。
UI
UIと呼ばれるものは人間が使うもの全部と考えていいらしいのですが、ウェブの場合は、ユーザーが実際に触る画面です。特にボタンとか入力フォームとか何かしらの操作に使う部分が重要です。
では、マウス、キーボードなどもユーザーインターフェースなのかなと思いましたが、ヒューマンインターフェース（人間が機械を操作するための道具）と呼ばれているそうです。
では、UXは？
ユーザーインターフェースなどを通して得られる 機器やソフトウェアの有効さ、効率、満足度の総合的な指標を ユーザビリティ、購入前・利用前の期待感から利用後までの印象を含む より包括的な概念を ユーザーエクスペリエンス、略して UXといいます。
以上簡単ですがまとめてみました。要はインターフェースは「つながり・接点」と言う事ですね。
APIに関してはもっと掘り下げて別で記事にまとめたいと思います。