本投稿の目的
トランプゲーム「ブラックジャック」における『ディーラー』の、初手ごとのバースト率を計算します。
はじめに
トランプゲーム「ブラックジャック」では、まずプレイヤーが、表になっている2枚のカードから、「次のカードを引くかどうか」ということを判断します。
その際、例えば「Q」「K」のような強い手札なら、言うまでもなく「スタンド(引かずに終わる)」という選択をするでしょう。
しかし、例えば「10」「5」のような微妙な手札の場合、バースト(21を超えること)を恐れて次を引かない、ということも多いと思います。
一方で、プレイヤーの得点が17未満でスタンドした場合、プレイヤーが勝つためには、「ディーラーがバーストする」ということを祈るしかありません。
それは、ディーラーは「17以上まで引き続ける」という世界共通のルールのためです。
ディーラーが17～21になれば、プレイヤーの負け。
ディーラーが22以上になれば、プレイヤーの勝ち。ということになります。
そのため、自分が勝利するために超重要になってくるのが、
ヒット(引く) or スタンド(引かない) の段階で、
「ディーラーはバーストするかどうか？」
の判断です。
最初に場にカードを配る際、ディーラーの手札は1枚公開されています。
自分の手札が17未満の場合に、ヒットかスタンドかを決める場合には、
「今ディーラーが見えている手札1枚で、ディーラーがバーストする確率」
が、超重要な要素です。
そのままスタンドした場合には、ディーラーのバースト率 = プレイヤーの勝率になります。
そこで今回は、ディーラーの初手ごと(1～13)に、ディーラーのバースト率を計算してみます。
検証方法
- 山札は、52枚のパターン、ならびに52枚4セット→208枚のパターンとする
- プレイヤーの要素は取り入れず、ディーラーのみでゲームを行う
- まずはディーラーの初手を、1に固定する
- そのままディーラーがブラックジャックを実施する。17以上になるまで手札を引き続ける
- 結果の点数と、バーストしたかどうかを記録する。これを100万回繰り返す
- 100万回完了したら、ディーラーの初手を2に変更し、同じ処理を繰り返す
- 以上の流れを、初手を1～13で、各100万回、合計1,300万回ブラックジャックを実施する
- それぞれの初手ごとに、バースト率と、最終点数の推移を計算する
もちろん、手動で1,300万回やるのは無理なので、プログラミングします。
以前書いた記事で作ったC#のプログラミングを、そのまま流用しています。
結果
表にまとめました。
※各初手ごとに、100万回で検証しています。
一覧
| 初手 | バースト率 52枚 | バースト率 52枚×4セット |
|---|---|---|
| 1 | 11.2814% | 11.0174% |
| 2 | 35.55% | 35.5126% |
| 3 | 37.5917% | 37.521% |
| 4 | 43.1333% | 43.1712% |
| 5 | 46.3084% | 46.1001% |
| 6 | 41.5123% | 41.6665% |
| 7 | 24.3494% | 24.2288% |
| 8 | 21.9696% | 21.8951% |
| 9 | 23.9652% | 23.8183% |
| 10 | 21.3837% | 21.3874% |
| 11 | 21.4819% | 21.3717% |
| 12 | 21.4571% | 21.2703% |
| 13 | 21.5109% | 21.3918% |
詳細
※列17～26は、各初手ごとの、最終得点の件数です。
52枚
| 初手 | バースト率 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.1128 | 118327 | 130965 | 128928 | 131281 | 377685 | 27759 | 28862 | 23119 | 18892 | 14182 |
| 2 | 0.3555 | 136031 | 126789 | 133007 | 126322 | 122351 | 158993 | 62243 | 43618 | 49438 | 41208 |
| 3 | 0.3759 | 122115 | 129504 | 125603 | 127316 | 119545 | 101760 | 150105 | 53564 | 43424 | 27064 |
| 4 | 0.4313 | 130115 | 83044 | 115658 | 117970 | 121880 | 105475 | 96274 | 144579 | 47597 | 37408 |
| 5 | 0.4630 | 120217 | 124727 | 116605 | 73387 | 101980 | 103473 | 94185 | 88732 | 137907 | 38787 |
| 6 | 0.4151 | 169107 | 112990 | 106267 | 100042 | 96471 | 42985 | 92277 | 80877 | 75864 | 123120 |
| 7 | 0.2434 | 387910 | 140236 | 75133 | 76664 | 76563 | 60562 | 51687 | 36122 | 51196 | 43927 |
| 8 | 0.2196 | 136672 | 377436 | 131418 | 66549 | 68229 | 55427 | 50680 | 49100 | 46455 | 18034 |
| 9 | 0.2396 | 131998 | 55908 | 381094 | 127766 | 63582 | 59758 | 51737 | 47223 | 39158 | 41776 |
| 10 | 0.2138 | 123360 | 121664 | 123747 | 292919 | 124473 | 53869 | 49652 | 43324 | 37265 | 29727 |
| J | 0.2148 | 122605 | 121415 | 124099 | 292787 | 124275 | 53900 | 49987 | 43708 | 37291 | 29933 |
| Q | 0.2145 | 123389 | 121473 | 123674 | 292626 | 124267 | 54344 | 49961 | 43491 | 37175 | 29600 |
| K | 0.2151 | 124197 | 121259 | 123143 | 292671 | 123621 | 54053 | 50374 | 43746 | 37287 | 29649 |
52枚×4セット=208枚
| 初手 | バースト率 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.110174 | 120105 | 130257 | 129570 | 130221 | 379673 | 27081 | 27781 | 22752 | 18423 | 14137 |
| 2 | 0.355126 | 135301 | 128728 | 133202 | 126417 | 121226 | 161894 | 61121 | 43059 | 48204 | 40848 |
| 3 | 0.37521 | 124457 | 128685 | 126461 | 126035 | 119152 | 100839 | 152559 | 52222 | 43363 | 26227 |
| 4 | 0.431712 | 129024 | 86097 | 114850 | 118188 | 120129 | 104863 | 94922 | 147297 | 46704 | 37926 |
| 5 | 0.461001 | 123223 | 123505 | 117132 | 73773 | 101366 | 102014 | 94220 | 86644 | 140007 | 38116 |
| 6 | 0.416665 | 169207 | 112435 | 106113 | 100377 | 95203 | 44794 | 90000 | 81480 | 74317 | 126074 |
| 7 | 0.242288 | 389351 | 140190 | 76237 | 76151 | 75783 | 59491 | 52267 | 35539 | 51753 | 43238 |
| 8 | 0.218951 | 136861 | 378666 | 130951 | 66870 | 67701 | 56378 | 49974 | 49385 | 45156 | 18058 |
| 9 | 0.238183 | 132904 | 55997 | 381364 | 127525 | 64027 | 59298 | 52728 | 46442 | 38801 | 40914 |
| 10 | 0.213874 | 122816 | 122645 | 123031 | 294161 | 123473 | 54521 | 49898 | 43413 | 36568 | 29474 |
| J | 0.213717 | 123444 | 122771 | 123676 | 292932 | 123460 | 54842 | 49581 | 43055 | 36602 | 29637 |
| Q | 0.212703 | 123176 | 123132 | 123733 | 293887 | 123369 | 54292 | 49248 | 43153 | 36714 | 29296 |
| K | 0.213918 | 122684 | 122974 | 123013 | 294415 | 122996 | 54997 | 49534 | 43216 | 36651 | 29520 |
52枚でやった場合と、52枚×4セットでやった場合、どちらも結果はほぼ同じでした。
また、もっとも大事なのが、「バースト率」です。
ディーラーの初手が1、つまりAの場合は、バースト率は11%しかありません。
つまり、ディーラーの初手がAで、17未満なのにプレイヤーがスタンドしてしまったら、その時点でプレイヤーは「勝率は11%しかない」ということになります。
なので、その時点でスタンドすることは、かなり分の悪い勝負になります。
多少頑張ってもヒットする、もしくは潔くサレンダー(降参)、という選択肢が生まれてくるわけです。
一方でディーラーの初手が4～6の場合、バースト率は4割を超えています。
なのでプレイヤーは、たとえ手札が17未満でスタンドしたとしても、4割強の確率で勝てるということです。それはそこまで、分の悪い勝負ではないでしょう。
こういったことが、上記の表から分かります。
※なお実際には、この確率は多少のブレがあります。
実際には、「すでに他のプレイヤーに配られているカードは二度と引かれない」ため、次に引くカードは、若干絞られます。
「場に小さな数がいっぱい出ているから、次引くカードは大きな数の可能性が高い」などです。
上記の表をベースに、確率の上下を計算しても良いかもしれないですね。
以上です。
この確率を暗記するだけで、ブラックジャックの勝率が大きく変わるかもしれないですね。
ブラックジャックをやる方は、是非覚えておいて欲しいです！
また、プログラミングを覚えてしまえば、こんな検証もお手軽にできます。
これからプログラミングをやってみたい！と考えている方は、是非楽しみにしていてくださいね。