$
\def\fraction(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
\def\ff(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
\def\der(#1/#2){\frac{d #1}{d #2}}
\def\dd(#1/#2){\frac{d #1}{d #2}}
\def\dd#1#2#3{\frac{d ^{#1}#2}{d #3^{#1}}}
\def\del{\partial}
\def\pdd(#1/#2){\frac{\del #1}{\del #2}}
\def\DIS{\displaystyle}
\def\Dt{\Delta t}
\def\bm{\boldsymbol}
\def\bex{\bm e_x}
\def\bey{\bm e_y}
\def\ber{\bm e_r}
\def\be#1{\bm e_{#1}}
$
回転を表す行列
導入(2次元)
2つのベクトルを考えてみます。
\bm a_1 = \begin{pmatrix}
\cos \theta \\
-\sin \theta
\end{pmatrix} ,\quad
\bm a_2 = \begin{pmatrix}
\sin \theta \\
\cos \theta
\end{pmatrix}
この2つのベクトルは，次の性質があります。
|\bm a_1 | = |\bm a_2 | = 1,\quad \bm a _1 \cdot \bm a_2 = 0
この縦のベクトルをならべた行列$\rm R$を次で定義します。
\rm R =
\begin{pmatrix}
\bm a_1 & \bm a_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
行列 $\rm R$ は次の性質を持っています。
\rm R^T\rm R =
\begin{pmatrix}
\bm a_1^T \\ \bm a^T_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm a_1 & \bm a_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\bm a_1 \cdot \bm a_1 & \bm a_1 \cdot \bm a_2 \\
\bm a_2 \cdot \bm a_1 & \bm a_2 \cdot \bm a_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
$\rm R^T R$ 転置すると，逆行列になるものを直交行列といいます。
ベクトルの回転
適当なベクトル$\bm b$と，それに直交するベクトル$\bm{\bar b}$（反時計回りに90度回転）を考えましょう。$\bm b$を$\theta$だけ回転させたベクトルは
\bm c = \cos \theta \bm b + \sin \theta \bar{\bm b}
同様に$\bm{\bar b}$を$\theta$だけ回転させたベクトルは
\bar{\bm c} = - \sin \theta \bm b + \cos \theta \bar{\bm b}
となります。
ところで，どのようなベクトルに対しても，$\bm b$，$\bar{\bm b}$
\bm x = x_1 \bm b + x_2 \bar{\bm b} =
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm b \\ \bar{\bm b}
\end{pmatrix}
と表すことができます。$x_1\bm b$を回転させと
x_1 \cos \theta \bm b + x_1 \sin \theta \bar{\bm b}
同様に$x_2 \bm{\bar b}$を$\theta$だけ回転させたベクトルは
- x_2 \sin \theta \bm b + x_2 \cos \theta \bar{\bm b}
となるから，$\bm x$を回転させたベクトルは
(x_1 \cos \theta -x_2 \sin \theta )\bm b + (x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta ) \bar{\bm b}
となります。係数を成分といいますが，成分について
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix} \to
{\rm R}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
と行列の積をとり，計算できます。
基底ベクトルの取り換え
基底ベクトルとして，正規直交ベクトルを採用します。$x$ 軸方向，$y$ 軸方向の大きさ1のベクトルを想定してください。このベクトルの組を${ \bm e_1 , \bm e_2 }$とします。以下，ベクトルを表すために太字ではなく，添え字を右肩に書くことで，ベクトルを表すことにします。
\bm e_1 \to e^i_1\\
\bm e_2 \to e^i_2
基底${ e^i_1 , e^i_2 }$に対して，それを$\theta$回転した基底 ${ f^i_1, f^i_2}$ を考えましょう。2つの基底の関係は
f^i_1 = \cos \theta e^i_1 + \sin \theta e^i_2
\\
f^i_2 = -\sin \theta e^i_1 + \cos \theta e^i_2
となりました。行列の形式を使うと
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix} =
{\rm R} \begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}
となっていることが分かります。あるベクトル$v^i$がそれぞれの基底で
x^i =
\begin{pmatrix}
x &
y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix}
と表されているとします。左辺に単位行列を間に入れて
\begin{pmatrix}
x &
y
\end{pmatrix}
{\rm R^T R}
\begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix}
成分を比較すると
{\rm R}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
X \\ Y
\end{pmatrix}
という成分の変換式を得ることができます。
回転系
ベクトルを$\theta $だけ回転させる行列を $\rm R_\theta$ と書くことにします。
\rm R _\theta =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
回転している座標系とは，基底ベクトルが回転運動をしているものとします。つまり時刻 $t$ で
\begin{pmatrix}
f^i_1\\
f^i_2
\end{pmatrix} =
{\rm R}_{\omega t} \begin{pmatrix}
e^i_1\\
e^i_2
\end{pmatrix}
で表されます。運動方程式を得るために，時間の微分をする必要があります。そこで， ${\rm R}_\theta$ の微分についての性質を考えておきましょう。
行列を微分するときは，各成分を微分することと約束します。
${\rm R}_\theta$ を，変数 $\theta$ について微分します。
{\rm R}'_\theta =
\begin{pmatrix}
-\sin \theta & \cos \theta \\
-\cos \theta & -\sin \theta
\end{pmatrix}
直交行列なので，$R^TR = E$が成立しています。この式の両辺を微分すると
{R'}_\theta^T R_\theta + R_\theta^T R'_\theta = 0
つまり
(R_\theta^T R'_\theta)^T = -R_\theta^T R'_\theta
が成立し，行列 $R_\theta^T R'_\theta$ は，反対称行列ということが分かります。
具体的に$R_\theta^T R'_\theta$の成分を計算してみましょう。
R_\theta^T R'_\theta =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\sin \theta & \cos \theta \\
-\cos \theta & -\sin \theta
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
となり，反対称行列になっていることが確かめられました。
$\theta = \omega t$（$\omega$：定数）のように，$t$ の関数とすると，
\ff(d/dt) {\rm R}_{\omega t} = \omega {\rm R'}_{\omega t}
もう1回微分すると
\ff(d^2/dt^2) {\rm R}_{\omega t} = - \omega ^2 {\rm R}_{\omega t}
となることが分かります。
回転系の物理
回転系の物理とは，基底${f^i_1 , f^i_2 }$で表した成分についての現象を表したものです。平たく言えば，$(X,Y)$についての運動方程式を考え，解くことです。
速度
\dot x^i = \dd{}{}{t}
\begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix}=
\dd{}{}{t}
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix}
成分の変換に用いた行列に注意しましょう。
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}
]
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix} =
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}
] {\rm R^T}_{\omega t} {\rm R}_{\omega t}
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix}
となるから，
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
{\rm R}_{\omega t}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t}
]
\begin{pmatrix}
e^i_x\\
e^i_y
\end{pmatrix} =
[
\begin{pmatrix}
\dot X & \dot Y
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
X & Y
\end{pmatrix}
\omega
{\rm R'}_{\omega t} {\rm R^T}_{\omega t}
]
\begin{pmatrix}
f^i_x\\
f^i_y
\end{pmatrix}
この成分を行列の形式に縦に並べて見ると
\begin{pmatrix}
\dot X \\ \dot Y
\end{pmatrix}
+
\omega
{\rm R}_{\omega t} {\rm R'^T}_{\omega t}
\begin{pmatrix}
X \\ Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\dot X \\ \dot Y
\end{pmatrix} - \omega
{\rm R'}_{\omega t} {\rm R^T}_{\omega t}
\begin{pmatrix}
X \\ Y
\end{pmatrix}
となります。この成分をさらに計算すると
\bm V =
\begin{pmatrix}
\dot X - \omega Y\\
\dot Y + \omega X
\end{pmatrix}
を得られます。この成分をベクトルとして書くことが多いです。
運動エネルギー$T$は
T = \ff(1/2) m ([\dot X - \omega Y]^2 + [\dot Y + \omega X]^2)
となることが分かります。
回転系の物理（基礎）
$\def\bm{\boldsymbol}$
慣性系では運動方程式
$$
\bm F = \dot{\bm p} = m \ddot{\bm x}
$$
が成立します。原点が一致し，慣性系 $(x)$ に対して角速度 $\omega $ で回転（反時計回り）している回転系 $(y)$ では，運動方程式は次のように変更されます。
$$ m\ddot {\bm r} = F - 2m \bm \omega \times \bm v - m \bm \omega \times (\bm \omega \times \bm r) $$
ベクトル $\bm \omega$ は角速度を表す量で，回転する平面に対して垂直に定義します。例えば，$x_1$-$x_2$ 平面を角速度 $\omega $ （$x_1$軸からから$x_2$軸の方向に回転する）で回転する系の場合，$\bm \omega = (0,0,\omega)$で定義します。
2次元平面上の運動を考える場合は，
\ddot y_1 = \tilde f_1 + 2\omega v_2 + \omega ^2 y_1
\\
\ddot y_2 = \tilde f_2 - 2\omega v_1 + \omega ^2 y_2
という運動方程式になります。$y_i$は，回転している系の座標で，デカルト座標です。
2次元平面でまじめに計算
回転系の運動方程式を求めたい。慣性系の観測者と，回転する系の観測者を考えたい。慣性系のデカルト座標を$(x_1,x_2)=:(x)$とする。原点が一致し，原点を中心に回転運動している座標系$(y_1,y_2)=:(y)$を
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
とする。これは，回転している系からある点を見ると，系とは逆向きに点が回転するためです。 $\theta $ は $t$ の関数です。右辺の行列を$O(-\theta)$とする。$(y)$ から $(x)$ へは，$O(\theta)$で変換できます。行列$O$の成分は，クロネッカーのデルタとレヴィチビタの記号を使って
$$ O_{ij}(\theta) = \cos \theta \delta _{ij} - \sin \theta \epsilon _{ij} $$
と書くことができます。これを $\theta$ で微分すると，
\dd(/\theta) O _{ij} = \cos (\theta + \pi/2) \delta _{ij} -\sin (\theta +\pi/2) \epsilon _{ij} = O_{ij} (\theta + \pi/2)
となります。
$(x)$ 系は慣性系だから，運動の第2法則が成り立ちます（$(x)$，$(y)$ の関係式だけではどちらが慣性系か判断はつきません。）。
$$
m \ddot x_i = F_i
$$
まず，座標を時間で1回の微分します。
\begin{eqnarray}
\dot x_i
&=&
\frac{d}{dt} \left[ O_{ij}(\theta) y_j \right]
\\
&=& \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j
+ O_{ij}(\theta) \dot y_j
\end{eqnarray}
となります。ここでは行列が微分されることに注意しましょう。
時間の2階の微分は
\begin{eqnarray}
\ddot x_i &=& \dd(/t) \left[ \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j
+ O_{ij}(\theta) \dot y_j \right]
\\
&=& (\ddot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) y_j + \dot \theta ^2 O_{ij}(\theta + \pi ) y_j
+ \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) \dot y_j)
\\
& & + \dot \theta O_{ij}(\theta + \pi /2) \dot y_j + O_{ij}(\theta) \ddot y_j
\\
&=& O_{ij}(\theta + \pi /2) (\ddot \theta y_j +2 \dot \theta \dot y_j)
+ O_{ij}(\theta) (- \dot \theta ^2 y_j + \ddot y_j)
\end{eqnarray}
となります。これを運動方程式に代入することで $(y)$ に関する方程式を得ることができます。次のようにするとうまく整理できる。
$$
\begin{eqnarray}
O_{ik}(-\theta) \ddot x_k
&=& O_{ik}(\pi /2) (\ddot \theta y_k + 2 \dot \theta \dot y_k)
- (- \dot \theta ^2 y_i + \ddot y_i)
\end{eqnarray}
$$
$O_ij(\pi/2) = - \epsilon_{ij}$だから，これを慣性系の運動方程式に代入して，
$$
\begin{eqnarray}
O_{ik}(-\theta) F_{k}
&=& -\epsilon_{ik} (\ddot \theta y_k + 2 \dot \theta \dot y_k)
- (- \dot \theta ^2 y_i + \ddot y_i)
\end{eqnarray}
$$
$O(-\theta) F$は回転系ではかった力の成分となります。これを$\tilde F$と書くことにしましょう。回転系で観測する加速度は$\ddot y_i$です。運動方程式を「加速度=」の形にすると
$$
\ddot y_i = \tilde F_i + \epsilon_{ik}( \ddot \theta y_k + 2\dot \theta \dot y_k) + \dot \theta ^2 y_i
$$
となります。$\dot \theta =: \omega$ ，$\bm \omega =(0,0,\omega)$と3次元ベクトルで表現したときの
$$
\ddot{\bm r} =
\bm f + \dot{\omega } \times \bm r - 2\bm \omega \times \bm v - \bm \omega \times (\bm \omega \times \bm r)
$$
に一致する式です。
特に$\omega$が定数の場合は，
\ddot y_1 = \tilde F_1 + 2\omega v_2 + \dot \theta ^2 y_1
\\
\ddot y_2 = \tilde F_2 - 2\omega v_1 + \dot \theta ^2 y_2
第2項はコリオリ力，第3項は遠心力を表します。遠心力は，回転の中心から外側の方向にはたきます。コリオリ力は，進行方向に対して，右方向の力がはたらきます。たとえば$(v_1,v_2)=(1,0)$とします。$1$方向では，この力はゼロになり，2方向では $-2\omega$ だから進行方向に対して右向きになっています。