和の公式
和の公式について、あれこれ
数列の和について、公式と呼ばれるものは次にあげるものだろう。
(1): $$ \sum _{k=1}^n 1 = n$$
(2): $$ \sum _{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) $$
(3): $$ \sum _{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$
(4): $$ \sum _{k=1}^n k = \bigl [ \frac{1}{2}n(n+1) \bigr ]^2 $$
(5): $$ \sum _{k=1}^n r^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1} = \frac{1 - r^n}{1 -r},\quad (r\neq 1)$$
最後の公式(5)は、等比数列の和の公式である。
ここで$n$の取り得る値は、1以上の整数である。たとえば$n=0$を代入することに意味はない。
$n=0$を(1)-(5)に代入するとゼロになる。これをどのように解釈するべきかは難しいことあるが、
階差数列に対して次のことがいえる。
数列${ a_n }$の階差数列${ b_n }$は、
(6): $ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k (n\geq 2)$
という関係をもつ。階差数列が$n$の多項式か指数関数の場合は、(6)は$n=1$の場合にも適用できる。
$$\left( n+1\right) ^{i}-1=\sum ^{i-1}_{k=1}{}iC{k}S^{k}$$
なんかいろいろ
指数法則
$a>0$とする。
$$ a^p \cdot a^q = a^{p+q} $$
$$ (a^p)^q = a^{pq} $$
$$ (ab)^p = a^p b^p $$
$$ a^0 = 1 $$
絶対値を含む方程式・不等式
$ |x| = c$ の解 $x=\pm c$
$ |x-a| < c$ の解 $-c + a < x < c + a$
$ |x-a| > c$ の解 $x < -c + a$ または $ c + a < x $
2次関数のグラフ
方程式$ y = a(x -p)^2 + q ,\quad (a\neq 0)$について、
頂点の座標 $(p,q)$
軸の方程式 $ x = p$
グラフの平行移動 (一般論)
関数$f(x)$のグラフを与える方程式、$ y = f(x) $に対して、
x軸方向にp, y軸方向にq平行移動させたグラフの方程式
$$ y - q = f(x-a) $$
2次方程式
2次方程式
$$ ax^2 + bx + c = 0 , \quad (a\neq 0)$$
について。
解(根)の公式
$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}$$
解と係数の関係
$$ x_+ + x_- = -\frac{b}{a} $$,
$$ x_+ \cdot x_- = \frac{c}{a} $$
判別式
$$ D = b^2 - 4ac $$
xの1次が偶数の場合
2次方程式
$$ ax^2 + 2bx + c = 0 , \quad (a\neq 0)$$
について。
解(根)の公式
$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - ac }}{a}$$
判別式
$$ D = b^2 - ac $$
正弦定理
$$ \frac{a}{\sin \angle \rm A} = \frac{b}{\sin \angle \rm B}= \frac{c}{\sin \angle \rm C}= 2R $$
弦定理
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \angle \rm C $$
三角形の面積
$$ \frac{1}{2} ab \sin \theta $$
内接円の半径と三角形の面積
$$ \frac{1}{2} r(a+b+c) $$
外接円の半径と三角形の面積
$$ abc = 4SR $$
以下のリンク
https://www.evernote.com/shard/s225/sh/c300873f-bacb-4533-bd90-a2675b55201d/a2af50a0d44a53f9/res/1a841c8d-5881-4525-aa2f-fe5278f88a6a/02032014.svg
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