極座標系
$
\def\fraction(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
\def\ff(#1/#2){\frac{#1}{#2}}
\def\der(#1/#2){\frac{d #1}{d #2}}
\def\dd(#1/#2){\frac{d #1}{d #2}}
\def\del{\partial}
\def\pdd(#1/#2){\frac{\del #1}{\del #2}}
\def\DIS{\displaystyle}
\def\Dt{\Delta t}
\def\bm{\boldsymbol}
\def\bex{\bm e_x}
\def\bey{\bm e_y}
\def\ber{\bm e_r}
\def\be#1{\bm e_{#1}}
$マクロ終了
極座標系の運動方程式(結論)
$$
\begin{eqnarray}
F_r &=& m(\ddot r - r\dot \theta ^2)
\
F_\theta &=& m(2\dot r \dot \theta + r\ddot \theta)
\end{eqnarray}
$$
極座標系の基底ベクトル
デカルト座標系(2次元)で，$(x,y)$の位置にある質点を極座標で$(r,\theta)$で表したとき
\begin{eqnarray}
r &=& \sqrt{x^2 + y^2}
\\
\tan\theta &=& \ff(y/x)
\\
x &=& r \cos \theta
\\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}
という関係があります。
デカルト座標系で基準となるベクトル（基底ベクトル）を$\bm e_x$，$\bm e_y$ とします。それぞれ大きさは1です。これに対して，極座標系での基底ベクトルを
\begin{eqnarray}
\ber &=& \cos \theta \bex + \sin \theta \bey
\\
\be{\theta} &=& - \sin \theta \bex + \cos \theta \bey
\end{eqnarray}
と定めます。この1組のベクトルの係数を $r$ 成分 $\theta$ 成分と定めます。ただし， $\theta$ の値が変化すると，ベクトル自身も向きを変えてしまう特徴があります。例えば，質点の位置ベクトル $\bm r$ は
$$
\bm r = r \ber
$$
と，常に $r$ 成分しか持たないことになります。
基底ベクトルに対して微分を考えることができます。
\begin{eqnarray}
\dd(/\theta) \ber &=& \dd(/\theta) (\cos \theta \bex + \sin \theta \bey )
\\
&=& - \sin \theta \bex + \cos \theta \bey
\\
&=& \be{\theta}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\dd(/\theta) \be{\theta} &=& \dd(/\theta) (-\sin \theta \bex + \cos \theta \bey )
\\
&=& - \cos \theta \bex - \sin \theta \bey
\\
&=& -\ber
\end{eqnarray}
$\sin$， $\cos$ のような微分に似た性質があります。
極座標系の運動方程式
極座標で表す位置座標を時間で微分することで得られます。合成関数の微分
$$
\dd(/t) = \dot \theta \dd(/\theta)
$$
に注意して，まずは速度 $\bm v$ を計算してみましょう。
\begin{eqnarray}
\bm v &=& \dd(/t) \bm r
\\
&=& \dd(/t) (r \ber)
\\
&=& \dot r \ber + r \dot \theta \dd(/\theta) \ber
\\
&=& \dot r \ber + r \dot \theta \be{\theta}
\end{eqnarray}
速度の $r$ 成分 $\theta$ 成分は
\begin{eqnarray}
v_r &=& \dot r
\\
v_\theta &=& r \dot \theta
\end{eqnarray}
となります。速度を時間で微分すると加速度 $\bm a$ が得られます。
\begin{eqnarray}
\bm a &=& \dd(/t) \bm v
\\
&=& \dd(/t) ( \dot r \ber + r \dot \theta \be{\theta} )
\\
&=&
\ddot r \ber + \dot r \dot \theta \dd(/\theta) \ber + (\dot r \dot \theta \be{\theta} + r \ddot \theta \be{\theta} + r \dot \theta ^2 \dd(/\theta) \be{\theta})
\\
&=&
\ddot r \ber + \dot r \dot \theta \be{\theta} + (\dot r \dot \theta \be{\theta} + r \ddot \theta \be{\theta} - r \dot \theta ^2 \ber)
\\
&=&
(\ddot r - r\dot \theta ^2)\ber + (2\dot r \dot \theta + r \ddot \theta) \be{\theta}
\end{eqnarray}
加速度の極座標成分は
$$
\begin{eqnarray}
a_r &=& \ddot r - r\dot \theta ^2
\
a_\theta &=& 2\dot r \dot \theta + r\ddot \theta
\end{eqnarray}
$$
になります。力を極座標成分 $\bm F = F_r \ber + F_\theta \be{\theta}$ に分解すると，
$$
\begin{eqnarray}
F_r &=& m(\ddot r - r\dot \theta ^2)
\
F_\theta &=& m(2\dot r \dot \theta + r\ddot \theta)
\end{eqnarray}
$$
が得られます。
いろいろ計算
$$
\begin{eqnarray}
\bm r &=& x \bex + y \bey
\
&=&
r \cos \theta \bex + r\sin \theta \bey
\
&=& r (\cos \theta \bex + \sin \theta \bey) =: r \ber
\end{eqnarray}
$$
$$
\begin{eqnarray}
\ber \cdot \be{\theta}
&=& (\cos \theta \bex + \sin \theta \bey) \cdot (- \sin \theta \bex + \cos \theta \bey)
\
&=& 0
\end{eqnarray}
$$
$$
\begin{eqnarray}
\ber (\theta + \pi/2) &=& \cos (\theta + \pi/2) \bex + \sin (\theta + \pi/2) \bey
\
&=& - \sin \theta \bex + \cos \theta \bey
\
&=&
\be{\theta} (\theta)
\end{eqnarray}
$$
$$
\begin{eqnarray}
\bex &=& \cos \theta \ber - \sin \theta \be{\theta}
\
\bey &=& \sin \theta \ber + \cos \theta \be{\theta}
\end{eqnarray}
$$
振り子の運動方程式（単振り子）
重力加速度の方向が$x$軸方向となるように座標を取ります。
$$
g \bex = g (\cos \theta \ber - \sin \theta \be{\theta})
$$
となるので，極座標成分は
$$
f_r = g \cos \theta,
\
f_\theta = -g \sin \theta
$$
となり，運動方程式が得られます。ただし，振り子の運動では $r=\ell$ と半径が一定のため $\dot r = 0$ になります。つまり $\theta$ 成分の運動方程式は，
$$
\ell \ddot \theta = -g\sin \theta
$$
となります。$r$ 方向の運動方程式は
$$
- r\dot \theta ^2 = g\cos \theta
$$
になるような気がしますが，糸の張力を受けています。張力は原点の方向に向かってはたらいているから，
$$
-\ell \dot \theta ^2 = g \cos \theta - T
$$
となります($T$は張力を質量で割ったもの)。$T$ は，運動方程式を解いたあとから分かるものになります。
$$
T = g \cos \theta + \ell \dot \theta ^2
$$