\newcommand{\P}{\mathscr{P}}
\newcommand{\V}{\mathscr{V}}
\newcommand{\W}{\mathscr{W}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\pr}{\mathrm{pr}}
\newcommand{\ind}{\mathrm{ind}}

でベクトル束の同値類から構成したK群を紹介しましたが、このK群によって位相的指数という多様体上の大域的な不変量が定義できます。これはアティヤ・シンガーの指数定理によってある種の偏微分方程式と関係があります。

接束の引き戻しについての補題

接束$(TM,\Pi,M,\R^n)$とベクトル束$(E,\pi,M,F)$に対して射影$\Pi$による引き戻し束

(\Pi^*TM,\Pi^*\Pi,TM,\R^n) \\
(\Pi^*E,\Pi^*\pi,TM,F)

を考えます。このとき、

TE \simeq \Pi^*TM \oplus \Pi^* E

という関係が成り立ちます。

またこれを利用すると、部分多様体$N \subset M$の法束$(\nu N, \pi ,N, \R^n)$に対して

T(\nu N) \simeq \Pi^*(\nu N) \oplus \Pi^*(\nu N) \simeq \Pi^*(\nu N \oplus \nu N)

となります。この同相写像を$\phi$とすると、

(\nu N \oplus \nu N, \pi, N, \R^{2n})

の引き戻しとして

T(\nu N) = (T(\nu N), \phi \circ \Pi^*\pi, TN, R^n )

というベクトル束を構成することができます。

管状近傍

可微分多様体とその可微分部分多様体$N \subset M$に対してベクトル束$E \xrightarrow{\pi} N$が管状近傍であるとは、ある$J \in c^\infty(E,M)$が存在して以下の条件を満たすことです。

なお、$\sigma_0 \in \Gamma(E)$をゼロ切断、$i:N \rightarrow M$を埋め込み(微分同相な包含写像)とします。

(1)

J \circ \sigma_0 = i

(2)

\exists U \subset E, V \subset M: \sigma_0(N) \subset U, \ N \subset V, \ J|_U \in \mathrm{Diff}(U,V)

存在性

$N$が正則な部分多様体であれば管状近傍は存在します。

補題

管状近傍に対して

\forall U \supset \sigma_0(N): \exists V \in \mathcal{O}_E \ s.t. \ \sigma_0(N) \subset V \subset U: \\
\exists \psi \in \mathrm{Diff}(E,V): \psi \circ \sigma_0 = i

が成り立ちます。

コメント

管状近傍にはよく法束$E = \nu N$が用いられます。
また、補題からある集合$W \subset M$で$J \circ \psi$によって

\nu N \simeq_{diff} W

となるものが存在することが分かります。この$W$を管状近傍と呼ぶこともあります。

位相的指数の定義

Step1:部分多様体の接束に対するトム準同型

ベクトル束$T(\nu N)$の低空間と全空間の間にはトム準同型が構成できて、それを

\phi_0: K(TN) \rightarrow K(T(\nu N))

とします。さらに管状近傍の性質から

\exists U_\perp \subset M: \nu(N) \simeq_{diff} U_\perp

なので、トム準同型を

\phi: K(TN) \rightarrow K(TU_\perp)

とできます。

Step2:トム空間とポントリャーギン・トムの崩壊写像

次に$TU_\perp \subset TM$なので、$TU_\perp$の１点コンパクト化をとって差集合

TU' = TM - TU_\perp^+

を１点につぶした空間への射影

h_0: TM \rightarrow TM/TU' \\
X \rightarrow [X]

を考えます。ここで、$TM/TU'$は$TU_\perp$の各元に対応した同値類と１点コンパクト化で追加した点に対応した同値類である$TU'$から成るので、

TM/TU' \simeq TU_\perp^+

となり、この同型写像と$h_0$を合成して自然な射影

h: TM \rightarrow TU_\perp^+

が構成されます。これによる引き戻し

h^*: K(TU_\perp) = K(TM)

を崩壊写像と言います。($K(TU_\perp)$は$TU_\perp$のコンパクト化を用いて構成されるので$K(TU_\perp)=K(TU_\perp^+)$です。)

コメント

実は崩壊写像$h^*$は同型写像になります。

K群の埋め込み

埋め込み$i: N \rightarrow M$は$TN \rightarrow TM$の埋め込みでもあり、これに対して写像

i_! = h^* \circ \phi: K(TN) \rightarrow K(TM)

を構成します。

K群の埋め込みの性質

A \subset B \subset C \\
i: A \rightarrow B \\
j: B \rightarrow C

(ただし、$i,j$は埋め込み写像)のとき、

(j \circ i)_! = j_! \circ i_!

が成り立ちます。

位相的指数の定義

$M$をリーマン多様体とすると、ナッシュの埋め込み定理より、埋め込み

i:M \rightarrow \R^n \ (\forall n > dim M)

が存在します。また、$\R^n$上の原点の埋め込み

j: \{0\} \rightarrow \R^n

を考えると、$h^*$も$\phi$も同型なので、

(j_!)^{-1} \circ {i_!}: K(TM) \rightarrow K(T\{0\}) = K(T_0 \R^n) \simeq \Z

です。ここで$T_0 \R^n$を低空間としてとれるのは$\C^{n'}$（$n' \geq n$）なので、その次元を取れば同型です。$n'<n$についてはK群の演算で得られます。

よって最後の$\Z$との同型写像$\mu$も合わせて位相的指数を

\ind_T = \mu \circ (j_!) \circ i_!: K(TM) \rightarrow \Z

と定義します。

コメント

実はこの位相的指数は特性類を使って表すことができます。
埋め込み$i,j$のとり方に依らずに$\ind_T$は定まります。(つまりwell-definedです。)

参考資料

http://www.yo.rim.or.jp/~kenrou/math/index.pdf
https://snaka0213.github.io/pdf/k-theory.pdf
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf
https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdf
https://research.kek.jp/people/hkodama/Math/topology.pdf
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/22/1/22_1_60/_pdf/-char/ja
管状近傍について：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-319-19045-7_7.pdf
管状近傍について: http://alpha.math.uga.edu/~usher/8210-notes2.pdf
http://math.tsukuba.ac.jp/~tange/jugyo/21/gaironI.html