で確率微分方程式について紹介しました。
その１例としてランジュバン方程式を紹介しましたが、物理学の業界ではしばしばランジュバン方程式から拡散方程式を導出して、ランジュバン方程式の代わりに拡散方程式を解いたりします。
このように確率微分方程式にはそれに対応する偏微分方程式が存在します。

\newcommand{\borel}[1]{\mathcal{B}(#1)}
\newcommand{\pdiff}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\ppdiff}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

記号

ルベーグ・スチルチェス積分を場合に応じて

\int_A X(\omega) p(d\omega) = \int_A X(\omega) dp(\omega)

と表すことにします。この記事では測度が複数の引数をとる場合を扱うので、どれが積分変数か分かりにくいからです。
また、引数を固定した時は必要に応じて$\bar{x}$のように表すことにします。

転移確率

$s,t \in T$（$s<t$）、$x \in \R$、$E \in \borel{\R}$に対して
$\mathcal{P}(s,t,x,E)$が以下の３つを満たすとき転移確率と言います。

$s,t,E$を固定したとき、$\mathcal{P}(\bar{s},\bar{t},x,\bar{E}) \in \borel{\R}|\borel{\R}$
$s,t,x$を固定したとき、$\mathcal{P}(\bar{s},\bar{t},\bar{x},E)$は$\borel{\R}$上の確率測度である。
チャップマン-コルモゴロフ方程式が常に成り立つ：

\forall u>t>s>0, \forall x \in \mathbb{R}, \forall E \in \borel{\R}: \\
\mathcal{P}(s,u,x,E) = \int_\mathbb{R} \mathcal{P}(t,u,y,E) p(s,t,x,dy)

マルコフ過程の転移確率

転移確率$\mathcal{P}(s,t,x,E)$がマルコフ過程$X(t,\omega)$の転移確率であるとは

\forall s,t,E: \mathcal{P}(s,t,X(s,\omega),E) = p(X(t) \in E \mid X(s,\omega) ) \quad a.e.

となることです。逆にこの式を満たす確率過程$X(t)$は$\mathcal{P}$をその転移確率とするマルコフ過程になります。

転移作用素

任意の転移確率$\mathcal{P}(s,t,x,E)$に対して写像

p_{s,t}:\borel{\R}|\borel{\R} \rightarrow \borel{\R}|\borel{\R}

が

\forall f \in \borel{\R}|\borel{\R}: p_{s,t}[f](x) = \int_\mathbb{R} f(y) p(s,t,x,dy)

を満たすとき、$p(s,t)$を転移作用素と言います。
逆に転移確率は転移作用素を用いて

p(s,t,x,E) = p_{s,t}[1_E](x)

と定義することができます。

チャップマン-コルモゴロフ方程式の転移作用素による表現

転移作用素を用いてチャップマン-コルモゴロフ方程式は$0<s<t<u$として

p_{s,t}p_{t,u}=p_{s,u}

と表されます。

右連続性

転移作用素$p_{s,t}$が

$p_{s,s} = I$ (恒等写像)
任意の有界連続関数$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$に対して$\lim_{h \downarrow 0} p_{s,s+h} f = f$

であるとき、右連続であると言います。

生成作用素

$I$を恒等写像として

A_s = \lim_{h \downarrow 0} \frac{p_{s,s+h} - I }{h}

が存在するとき、$A_s$を転移作用素$p_{s,t}$の$s$における生成作用素と言います。

補足

関数$f \in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$でコンパクトな台を持つもの全体を$C^\infty_0(\mathbb{R})$と表すとき、

厳密にはこの極限は

\forall f \in C^\infty_0(\mathbb{R}): \forall x \in \mathbb{R}: A_sf(x) =  \lim_{h \downarrow 0} \frac{p_{s,s+h}f(x) - f(x) }{h}

という意味です。コンパクトな台については次の記事を見てください。

マルコフ過程$X(t)$の転移確率から導かれた転移作用素、生成作用素をそれぞれ$X(t)$の転移作用素(生成作用素)と言います。

定理(コルモゴロフ)

\int_{\R^d} (y_i-x_i)\mathcal{P}(s,s+h,x,dy) = a^i(s,x)h + \omicron(h) \\
\int_{\R^d} (y_i-x_i)(y_j-x_j) \mathcal{P}(s,s+h,x,dy) = b^{ij}(s,x)h + \omicron(h) \\
\int_{\R^d} (y_i-x_i)(y_j-x_j)(y_k-x_k)\mathcal{P}(s,s+h,x,dy) = \omicron(h)
\\
\Rightarrow A_s = a^i(s,x) \pdiff{}{x^i} + \frac{1}{2}b^{ij}(s,x)\ppdiff{}{x^i}{x^j}

ここで$\omicron$はランダウの記号で

f(x) = \omicron(g(x)) \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)} \right| = 0

という意味です。

確率微分方程式との対応

確率微分方程式($d$次元)

dX^i(s,t) = \mu^i(t,X(t)) dt(s,t) + \sigma^{ij}(t,X(t)) dB_j(s,t)

の解$X(t)$はマルコフ過程なので、$X(t)$の生成作用素が定まり、

A_s =  \mu^i(s,x) \pdiff{}{x^i} + \frac{1}{2}\sigma^{ik}(s,x)\sigma^{jk}(s,x) \ppdiff{}{x^i}{x^j}

となります。

弱い解とウィーナー積分

ウィーナー積分に関しては

を見てください。確率微分方程式の弱い解はある可測関数

h:\R^d \times C^0(\R,\R^d) \rightarrow C^0(\R,\R^d)

を用いて

X(t,\omega) = h(X(0,\omega),B(t,\omega))

と書けました。よって$B$が$x \in \R^d$から出発するブラウン運動だったとき弱い解$X$はブラウン運動の汎関数

X(t,\omega) = X(x,B(t,\omega))

になります。(状態$\omega$への依存性があるのはブラウン運動だけです。)よって$X$をウィーナー積分することができます。

ファインマン-カッツの公式

確率方程式

dX = \mu(t,X) dt + \frac{1}{2} \sigma_{ij}(t,X) dB

の生成演算子$A_t$のを用いて表されるコーシー問題

\pdiff{u(t,x)}{t} = A_tu(t,x) + V(x)u(t,x) + g(x)\\
u(0,x) = f(x)

(ただし、関数f$,V,g \in C(\R)$は任意)
の解$u(t,x):[0,\infty)\times\R^d \rightarrow \R$が、

u(t,x) \in C^0([0,\infty)\times\R^d,\R) \\
u(t,x) \in C^2((0,\infty)\times\R^d,\R)

で($t=0$では微分できなくてもよいということ)、多項式程度の増大度：

\exists K>0,\alpha\geq 1: \forall x \in \R^d: |u(t,x)| \leq K|x|^\alpha

であるとします。このとき、

$x$から出発するブラウン運動$B(t)$をもつ弱い解$X(x,B)$のウィーナー測度$P^x$による期待値を用いて

u(t,x) = E^x\left[ f(X(x,B(t)))\exp\left( \int_0^tV(X(x,B(s))) ds \right) + \int_0^t g(X(x,B(s)))\exp\left( \int_0^s V(X(x,B(s'))) ds' \right) ds \right]

となります。この期待値は$B$を積分変数とするウィーナー積分です。

例：ランジュバン方程式

dX(t) = -\alpha X(t) dt + \sigma dB(t)

に対応する偏微分方程式は解を$P(t,x)$とおくと

\pdiff{P}{t} = -\alpha x \pdiff{P}{x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 P}{ \partial x^2}

となり、これは(1次元)線形フォッカープランク方程式と呼ばれています。

例：ブラックーショールズ方程式

$s,s' \in T = [t,T]$（$s'<s$）

dX(s',s) = rX(s)dt(s',s) + \sigma X(s) dB(s',s) \\

ただし、$r,\sigma,S>0$に対応する偏微分方程式は
解を$C(t,S)$とおき、例えば

\pdiff{C}{t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2 } + rS \pdiff{C}{S} -rC = 0 \\
C(T,S) = \max(S-K,0)

とできます。($K>0$)
ファインマン-カッツの公式を使うと$C(t,S)$は

C(t,S) = E^S[\max(X(T)-K,0)e^{-r(T-t)}]