非同期な処理を並列させて、それぞれが完了するまで待ち合わせます。onClick() を実行すると処理が始まります。

並列処理をただ待ち合わせる場合(戻り値不要)

mergeオペレータを使います。アイテムは何も流さずにonCompleteで処理を行います。

MainActivityViewModel.kt


class MainActivityViewModel : ViewModel(), LifecycleObserver {

    private val compositeDisposable = CompositeDisposable()

    fun onClick() {
        Observable.merge(task1(), task2())
            .subscribeOn(Schedulers.io())
            .observeOn(AndroidSchedulers.mainThread())
            .subscribe({}, {}, { 
                Timber.d("onComplete") 
                // do something...
            })
            .addTo(compositeDisposable)
    }

    private fun task1(): Observable<Unit> {
        return Completable.fromAction {
            Timber.d("task 1 START")
            Thread.sleep(2000)
            Timber.d("task 1 END")
        }.subscribeOn(Schedulers.io()).toObservable()
    }

    private fun task2(): Observable<Unit> {
        return Completable.fromAction {
            Timber.d("task 2 START")
            Thread.sleep(3000)
            Timber.d("task 2 END")
        }.subscribeOn(Schedulers.io()).toObservable()
    }

    override fun onCleared() {
        super.onCleared()
        compositeDisposable.clear()
    }
}

実行結果

task 1 START
task 2 START
task 1 END
task 2 END
onComplete

並列処理の結果を使う場合

zipオペレータを使います。

MainActivityViewModel.kt

class MainActivityViewModel : ViewModel(), LifecycleObserver {

    private val compositeDisposable = CompositeDisposable()

    fun onClick() {
        Observables.zip(task1(), task2()) { t1, t2 ->  t1 + t2 }
            .subscribeOn(Schedulers.io())
            .observeOn(AndroidSchedulers.mainThread())
            .subscribe { 
                Timber.d("onComplete: %d", it)
                // do something...
            }
            .addTo(compositeDisposable)
    }

    private fun task1(): Observable<Int> {
        return Single.create<Int> { emitter ->
            Timber.d("task 1 START")
            Thread.sleep(2000)
            Timber.d("task 1 END")
            emitter.onSuccess(1)
        }.subscribeOn(Schedulers.io()).toObservable()
    }

    private fun task2(): Observable<Int> {
        return Single.create<Int> { emitter ->
            Timber.d("task 2 START")
            Thread.sleep(3000)
            Timber.d("task 2 END")
            emitter.onSuccess(2)
        }.subscribeOn(Schedulers.io()).toObservable()
    }

    override fun onCleared() {
        super.onCleared()
        compositeDisposable.clear()
    }
}

実行結果

task 1 START
task 2 START
task 1 END
task 2 END
onComplete: 3

RxKotlinでzipを使う場合は Observable ではなくて Observables を使うと BiFunction<> を省略することができます。

Kotlin Coroutines版もありますので参考にしてください。状況に応じてRxとcoroutinesを使い分けると良いでしょう。
Kotlin Coroutinesで非同期並列処理をする - Qiita