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確率論 ~分布関数と確率(密度)関数~

分布関数

$(\;Ω,\;F,\;P\;)$ 上の確率変数 $X$ について、

F_X(x)=P(X\!\leq\!x)

を満たすような $F$ を $X$ の分布関数という。

分布関数 $F$ は次の条件を満たす。

1. \quad x\leq y \; \Rightarrow \; F(x)\leq F(y) \quad (単調性) \\
2. \quad F(x) = \lim_{\epsilon \to +0} F(x \! + \! \epsilon ) \quad (右連続) \\
3. \quad \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1

確率関数と確率密度関数

離散型

$F(x)$ が有限または可算個の点でのみ増加するとき、離散型という。
増加点を $x_0,\;x_1,\;...$ としたとき、

p(x_i) = \; F(x_i) - F(x_{i-1}) \quad (i=0,\;1,\;...) \\
ただし、\; F(x_{-1})=0\;とする

を満たすような $p$ を確率関数という。

確率関数 $p$ は次の条件を満たす。

1. \quad p(x_i) \geq 0 \quad (i=0,\;1,\;...)
2. \quad \sum_{i=0}^{\infty} \; p(x_i) = 1

このとき、

F(x) = \sum_{x_i \leq x} \; p(x_i)

とおくと、$F$ は分布関数となる。

連続型

$F(x)$ が全ての $x$ で微分可能のとき、連続型という。

f(x) = F'(x)

を満たすような $f$ を確率密度関数という。

確率密度関数 $f$ は次の条件を満たす。

1. \quad f(x) \geq 0
2. \quad \int_{-\infty}^{\infty} \; f(x)\;dx = \; 1

このとき、

F(x) = \int_{-\infty}^{x} \; f(t)\;dt

とおくと、$F$ は分布関数となる。

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