分布関数
$(\;Ω,\;F,\;P\;)$ 上の確率変数 $X$ について、
F_X(x)=P(X\!\leq\!x)
を満たすような $F$ を $X$ の分布関数という。
分布関数 $F$ は次の条件を満たす。
1. \quad x\leq y \; \Rightarrow \; F(x)\leq F(y) \quad (単調性) \\
2. \quad F(x) = \lim_{\epsilon \to +0} F(x \! + \! \epsilon ) \quad (右連続) \\
3. \quad \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1
確率関数と確率密度関数
離散型
$F(x)$ が有限または可算個の点でのみ増加するとき、離散型という。
増加点を $x_0,\;x_1,\;...$ としたとき、
p(x_i) = \; F(x_i) - F(x_{i-1}) \quad (i=0,\;1,\;...) \\
ただし、\; F(x_{-1})=0\;とする
を満たすような $p$ を確率関数という。
確率関数 $p$ は次の条件を満たす。
1. \quad p(x_i) \geq 0 \quad (i=0,\;1,\;...)
2. \quad \sum_{i=0}^{\infty} \; p(x_i) = 1
このとき、
F(x) = \sum_{x_i \leq x} \; p(x_i)
とおくと、$F$ は分布関数となる。
連続型
$F(x)$ が全ての $x$ で微分可能のとき、連続型という。
f(x) = F'(x)
を満たすような $f$ を確率密度関数という。
確率密度関数 $f$ は次の条件を満たす。
1. \quad f(x) \geq 0
2. \quad \int_{-\infty}^{\infty} \; f(x)\;dx = \; 1
このとき、
F(x) = \int_{-\infty}^{x} \; f(t)\;dt
とおくと、$F$ は分布関数となる。