"科学の真理は揺さぶられるが,数学の定理として証明された事柄は,2000年以上たってもその真理としての性格が揺らぐことはない.
事実で検証できることをきちんと検証してきたこと,事実に合わない事を反証をあげて検証してきたことこそが科学の確かさを保証している.
証明はこのような「数学の真理の絶対性」を保証する手段と考えられてきた."
"現代数学では公理は「絶対的な心理」という立場を失い,「理論の出発点となる仮定」という意味になった.
したがって,現代数学的な視点で見れば,数学の定理とは仮定された約束(公理)から導かれる総体的な真実ということ.つまり
数学における証明とは
「こういうことを仮定すれば,理論的にこういうことを導くことができる」
という内容になった.こうして,
現代数学的な立場では,証明とは
「仮定された命題から出発して,論理的な約束にしたがって命題をいろいろな形に変形して,定理と呼ばれる新しい命題を手に入れていく手続き」
という意味に変わった.
定理を導くための論理的に約束として何が許され,何が許されないのかははっきりと決まっている.
この経験的立場からは,証明とは正しい事実から出発し,新しい事実を論理的に手に入れていく手続きという見方は変わっていないと思われる."
トートロジー
トートロジーとは,内容を問わず形式的にいつでもただしくなるほかはない命題.
一般に,ある複合命題が,その中に含まれている命題変数の真偽のいかんに関わらず,いつでも正くなるとき,その複合命題をトートロジー(恒真式)という.
トートロジーを同義語反復ということがあるが,内容の如何に関わらずいつでも形式として正しいということになれば,トートロジーを「正しさ」の1つの判断基準として採用することができる.
すなわち,万人が認める正しさとはその命題がトートロジーになっていることだとする.
演繹論理 「Aである.AならばBである.したがってBである.」
(A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B
トートロジーであり,形式的にはまったく正しい論理.
帰納論理 「Bである.AならばBである.したがって多分Aだろう.」
(B ∧ (A ⇒ B)) ⇒ A
トートロジーにはならない.
帰納論理は論理的には推測でしかない.
実験を何回も繰り返し,そのたびに同じ結論が得られるならば,Aは真だろうということの蓋然性はだんだんと高くなっていく.
これが自然科学の実験における論理.
数学ではこのような実験科学の帰納論理は使うことはできない.
数学的帰納法 「P(1)である.P(k)ならばP(k+1)である.したがってP(n)である.」
数学的帰納法は,いわゆる帰納論理とは違い,純粋に自然数の構造に依存した演繹論理の一種.
数学的帰納法も論理記号を使い,内容を表すことができる.
仮説論理
A ∧ B ⇒ (A ⇒ B)
トートロジーである.
具体例で見る限り,現実の仮説論理は正しくない場合もある.
現実問題の仮説論理では,どうしてもAとBの因果関係をはっきりさせる必要がある.
つまり「ならば」という言葉の日常的な意味と数学上の意味の違いが仮説論理の不思議さを作り出している.
純粋な数学研究の場合,多くの数学者は帰納論理などにより確信があるのでAならばBは仮説論理として正しい命題になっている.
しかし今度も,その中間を演繹論理として細かに示して,数学として具体的に論理の鎖を完成する必要がある.
仮説論理は想像力.
ならば
数学用語としての,"ならば"は時間経過を含まない.
"ならば"という言葉は日常経験では因果関係を表す.
因果関係である原因と結果は,常識として,原因は結果の前にあり,時間経過も含んでいることに注意.
記号論理用語の"ならば"は数学として因果関係を表さなくてもよい
"あるいは"は日本語としても時間経過を含んでいない.
公理もしくは公準
推論の基礎となる規則のこと.
個人の間で共有できる最低限の正しいこと.
数学では1番初めに,いくつかの命題を証明なしに真であると認めて議論を展開していく,特別な命題のこと.
公理系
公理の集まり.
排中律
全ての主張は,「正しい」か「正しくない」の二者択一しかない,を主張する法則.
背理法
背理法の基本は,結論を否定し,矛盾を出す.
背理法は,排中律を使って,数学的な定理を証明する.
無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものがたくさんある.
以降,『これはすごい!数学が使える人の問題解決法』第4章に書かれていた背理法についての内容だが,個人的に少し考える必要を感じている.
背理法を現実に使ってはいけない.背理法の考え方が「排除の原則」にもとづいているから.
数学の論理では真か偽かの2つの場合しか考えないが,現実の世界ではそうはいかない.
数学の論理的な発想を単純に現実世界に使うのは適切ではない.
日常の会話で背理法を使う人がいたら気をつけなくてはならない.背理法のような強力に見える証明法でも,その得意な範囲が決まっている.
参考文献
1) 瀬山 士郎:『なっとくする数学の証明』講談社, 2013.
2) 柳谷 晃:『これはすごい!数学が使える人の問題解決法』丸善, 2005.
3) 大栗 博司:『数学の言葉で世界を見たら』幻冬舎, 2015.