テイラー展開を使っていろんな数を求めてみよう😀

[追記]
@scivola さんのコメントより一部修正させて頂きました。修正箇所は下段コメントをご確認ください。

テイラー展開の応用

テイラー級数を応用し、平方根などの近似を求めよう

1 + x のk乗のテイラー級数への展開

\begin{eqnarray}
(1 + x)^k &=& 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!} + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \dots \\
          &=& \sum_{n-1}^{\infty} \frac{k(k-1) \dots (k-n+1)}{n!}
\end{eqnarray}

$(|x| < 1)$

これに近似を行うと

$$
(1+x)^k \fallingdotseq 1 + kx
$$

これは平方根などの近似計算をするとき便利

平方根を求める

$$
\sqrt{1+x} \fallingdotseq 1 + \frac{1}{2}x
$$

例えば

$$
\sqrt{1.1} = \sqrt{1+0.1} \fallingdotseq 1+ \frac{1}{2} \times 0.1 = 1.05
$$

Python3で計算してみる

Python3

Python 3.7.3 (default, Mar 27 2019, 09:23:15) 
[Clang 10.0.1 (clang-1001.0.46.3)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import math
>>> math.sqrt(1.1)
1.0488088481701516

結構合ってる

そういえば高校の物理でやったなーって人もいるかも

円周率を求められるかな 🤔

オンライン整数列大辞典 A000796より
$\pi = 3.14159265358979323846...$ らしい

\begin{eqnarray}
\tan{x}^{-1} &=& x- \frac{1}{3}x^3+ \frac{1}{5}x^5- \frac{1}{7}+ \dots \\
          &=& \sum_{n-1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} 
\end{eqnarray}

$$
(|x| \leq 1)
$$

ここで $\tan{ \pi/4}=1$ より

$$
\frac{\pi}{4} = 1- \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{7}+ \dots
$$

Rustで計算してみる

Rust

fn main() {
    let mut pi = 1.0;
    let n = 10;
    let mut s = -1.0;

    print!("1");
    for i in 1..=n {
        print!("{}1/{}", if s == 1.0 {'+'} else {'-'}, 2 * i + 1);
        pi += s * 1.0 / (2 * i + 1) as f64;
        s *= -s;
    }
    println!("\n{}", pi * 4.0);
}

結果 $n = 10$

$ cargo run
   Compiling
    Finished dev [unoptimized + debuginfo] target(s) in 0.56s
     Running `target/debug/unko`
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19
 pi = 3.0418396189294032 (n = 10)

一桁目しか合ってないぞ 🤔

結果 $n = 10^7$

Rust

$ cargo run
   Compiling unko v0.1.0 (unko)
    Finished dev [unoptimized + debuginfo] target(s) in 0.44s
     Running `target/debug/unko`

 pi = 3.1415925535897915 (n = 10000000)

７桁しか合ってないぞ 🤔

マチンの公式を使ってみよう

マチンの公式

$$
\frac{\pi}{4}=4 tan^{-1} { \frac{1}{5}}- tan^{-1}{ \frac{1}{239}}
$$

\begin{eqnarray}
tan^{-1} \frac{1}{5} &=& \frac{1}{5}- \frac{1}{3} {\frac{1}{5}}^3 + \frac{1}{５}{\frac{1}{5}}^5- \dots \\
tan^{-1} \frac{1}{239} &=& \frac{1}{239}- \frac{1}{3} {\frac{1}{239}}^3 + \frac{1}{５}{\frac{1}{239}}^5- \dots
\end{eqnarray}

Rust

fn main() {
    let d5   = 1.0 / 5.0;
    let d239 = 1.0 / 239.0;
    let n = 10;
    let mut arc_tan5 = d5;
    let mut arc_tan239 = d239;
    let mut s = -1.0;

    for k in 1..=n {
        let odd = (2 * k + 1) as f64;
        arc_tan5     += s * 1.0 / odd as f64 * f64::powf(d5, odd);
        arc_tan239   += s * 1.0 / odd as f64 * f64::powf(d239, odd);
        s *= -s;
    }
    println!("pi = {}", 4.0 * (4.0 * arc_tan5 - arc_tan239));
}

結果

n = 10 の時

$ cargo run
    Finished dev [unoptimized + debuginfo] target(s) in 0.11s
     Running `target/debug/unko`
pi = 3.1415926535897922

強い　😳

ネイピア数を求めよう

$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots$

x = 1 とすると

$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$

Rust

fn exp(n: usize) -> f64 {
    let mut e = 1.0_f64;
    let mut d = 1.0_f64;
    for i in 1..=n {
        d *= i as f64;
        e += 1.0 / d;
    }
    e
}

fn main() {
    println!("{}", exp(10));
    println!("{}", exp(100));
}

結果

n = 10 の時 2.7182815255731922                                                 
n = 100 の時 2.7182818284590455 

オンライン整数列大辞典A001113よりネイピア数は
$e = 2.71828182845904523...$

らしい。かなりいい線いっている!

参考

鷹尾 洋保 数列と級数のはなし―等差数列からテイラー級数・フーリエ級数まで